Page 20 - 2023年第54卷第7期

量是
２ｋ １

（ｋ ＋ １）?ｋ
２?ｋ
Ｍ ＝ Ｃ Ａ ｐ （ｐ － ｐ ），ｐ ＜ｐ＜１ （１１）
槡 ａ
ａ ｉｎ ｉｎ ａ ｒ ｒ ｒｃ，ｉｎ ｒ
ｋ － １ＲＴ
 ２
槡
ａ ｉｎ ｉｎ ｉｎ ｉｎ ｉｎ
式中：Ｍ ＝ ρ Ｃ Ａ ｕ 为进气质量流量，ｋｇ?ｓ；Ａ 为阀的开启面积，ｍ ；Ｃ ＝ １ ? ζ ｉｎ 为阀进气的流量
系数。
用式（ ８）中 ｐ 代替式（１１）中 ｐ，可得临界声速进气的质量流量
ｒｃ，ｉｎ
ｒ
ｋ ２ （ｋ ＋ １ ）?（ｋ － １ ）

Ｍ ＝ Ｃ Ａ ｐ ( ) ，ｐ ≤ｐ （１２）
槡 ａ
ｒ
ｉｎ ｉｎ ａ
ｒｃ，ｉｎ
ａ
ＲＴ ｋ ＋ １
－ １? ｋ
２
－ １? ｋ
＝
），由于 ρ ａ ρ ｐ ＝ ｐｐ ?（ＲＴ），则气体以亚声速排出空气阀的质量流
当式（ ９）两边同乘以（Ａ ρ ａ ｒ ｒ
ｏｕｔ
量是
２ｋ １

－ （ｋ ＋ １）?ｋ
－ ２?ｋ
Ｍ ＝－ Ｃ Ａ ｐ （ｐ － ｐ ），１ ≤ｐ＜ｐ （１３）
槡
ａ ｏｕｔ ｏｕｔ ｒ ｒ ｒ ｒｃ，ｏｕｔ
ｋ － １ ＲＴ
 ２
槡
ａ ｏｕｔ ｏｕｔ ｏｕｔ ｏｕｔ ｏｕｔ
式中：Ｍ ＝ ρ ａ Ｃ Ａ ｕ 为排气质量流量，ｋｇ?ｓ；Ａ 为阀孔口排气流通面积，ｍ ；Ｃ ＝ １? ζ ｏｕｔ 为阀孔

口排气流量系数。Ｍ 为负表示空气阀排气。
ａ
用式（１０）中 ｐ 代替式（１３）中 ｐ可得空气阀临界声速排气的基本方程
ｒｃ，ｏｕｔ ｒ
ｋ ２ （ｋ ＋ １ ）?（ｋ － １ ）

Ｍ ＝－ Ｃ Ａ ｐ ( ) ，ｐ ≥ｐ （１４）
槡
ｒｃ，ｏｕｔ
ａ
ｏｕｔ ｏｕｔ
ｒ
ＲＴ ｋ ＋ １
对式（ １）两边同乘气体体积，可得用气体质量表示的理想气体状态方程
ｐＶ ＝ Ｍ ＲＴ （１５）
ａ
３
式中：Ｖ为气体体积，ｍ ；Ｍ 为气体质量，ｋｇ。
ａ
当假设空气阀等熵流动为绝热流动，即取多变指数 ｋ ＝ １．４，则式（１１）—（１５）就是 Ｗｙｌｉｅ和 Ｓｔｒｅｅｔｅｒ
采用的空气阀进排气基本方程。当令式（１１）（１３）中项 ｋ?（ｋ － １） ＝１，则（１１）—（１５）就是 Ｌｅｅ等采用的
空气阀数学模型。由于等熵过程气体介于等温过程 ｋ ＝ １ 和绝热过程 ｋ ＝ １．４ 之间，所以 Ｌｅｅ等模型缺失
项 ｋ?（ｋ － １ ）可能是印刷错误，指出这一点是因为一些论文采用了这一模型。
需要说明的是，上述空气阀进排气基本方程是以火箭发动机喷管气体等熵流动理论为基础的。对
于火箭发动机，其喷管内气体来自燃烧室，气温 Ｔ受燃烧室温度控制，可达数千 Ｋ的高温，即 Ｔ是火
箭发动机的主要控制变量，在火箭稳定飞行状态可视为已知常数。与火箭发动机不同，输水管道工程
中空气阀只在水击瞬态过程中工作，气体来自大气而不是水体，且进排气持续时间很短，而 Ｔ会随气
压 ｐ的瞬变而瞬变。现有空气阀排气数学模型完全照搬火箭发动机稳态模型气温 Ｔ为常数的假定，且
取 Ｔ等于水温显然是不合理的。如果 Ｔ为常数，则意味着空气阀内气体是等温流动，即多变指数 ｋ ≡１，
这与等熵流动的假设矛盾。如果将 ｋ ＝ １代入式（１１）（１３），则公式右边为 ０?０型。实际上，随着输水工
程管直径的增加，空气阀规格尺寸也成正比的增加，水力瞬变过程中的进气量相当大。以南水北调中
３
线北京段惠南庄泵站为例，输水管直径 ４ｍ，单管正常输水流量 ３０ｍ ?ｓ，一旦泵站事故断电发生水力
瞬变，就会有数百，甚至上千立方米气体迅速通过空气阀进入输水管，显然，要让气温等于水温且保
持不变是不可能的。下面将根据理想气体状态方程和等熵条件，把气温 Ｔ变换为压比 ｐ和大气温度 Ｔ ａ
ｒ
的函数。
（ｋ － １ ）?ｋ
为了在空气阀排气方程中不含未知量 Ｔ，首先利用式（５）得 Ｔ ＝ Ｔｐ ，以及 ｐ ＝ ｐｐ，然后分别
ａ ｒ ａ ｒ
代入式（ １３）（１４）（１５）可得下述新的空气阀排气方程
２ｋ １

（ｋ － １ ）?ｋ
Ｍ ＝－ Ｃ Ａ ｐ （ｐ － １ ），１ ≤ｐ＜ｐ （１６）
ａ ｏｕｔ ｏｕｔ ａ ｒ ｒ ｒｃ，ｏｕｔ
槡 ａ
ｋ － １ ＲＴ
ｋｐ （ｋ ＋ １ ）?ｋ ２ （ｋ ＋ １）?（ｋ － １）
ｒ

Ｍ ＝－ Ｃ Ａ ｐ ( ) ，ｐ ≥ｐ （１７）
ｒｃ，ｏｕｔ
ａ
ｏｕｔ ｏｕｔ ａ
槡 ＲＴ ａ ｋ ＋ １
ｒ
８
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