Page 89 - 2023年第54卷第12期

对方程（１７）进行积分，可得：
ｕ ｂ １－ ξ ? ξ ｍａｘ ) ｕ ｂ
(
Ｕ＝ ∫ ２ ｄ ξ ＝ ·Ｉ （１８）
(
[
２ κβ ξ （１－ξ ） １＋α ξ ? ξ ｃ －１ ) ] ２ κβ
为了获得纵向时均流速 Ｕ的解析解，将方程（１８）中的积分项 Ｉ表示为部分分式，整理可得：
２ α ? ξ ｃ ) ξ ? ξ ｃ
Ｉ ＝ { ａ １ －ｂ １ －ｃ ( ( －１ ) ＋ｄ 槡 α ? ξ ｃ ２} ｄ ξ （１９）
∫ ０ ξ ０ １－ξ ０ １＋α ξ ? ξ ｃ －１ ) ２ ０ １＋α ξ ? ξ ｃ －１ )
(
(
１ １? ξ ｍａｘ － １ （１ ＋ α ）? ξ ｍａｘ ＋ （ α ? ξ ｃ ）（１? ξ ｃ － ２ ）
式中：ａ＝ ，ｂ＝ ，ｃ＝ ，
０ ０ ２ ０ ２
１ ＋ α － １） － １）］
１ ＋ α（１? ξ ｃ ２（１ ＋ α ）［１ ＋ α（１? ξ ｃ
槡 α ｛（１? ξ ｃ ）［１ ＋ α （１? ξ ｃ － １ ）］ － （１? ξ ｍａｘ ）［（１? ξ ｃ － １ ）（１ ＋ α ）］｝
ｄ＝ 。
０ ２
－ １ ）］
（１ ＋ α ）［１ ＋ α（１? ξ ｃ
将式（１９）代入式（１８），积分可得：
ｕ ｂ
２
Ｕ ＝ ｛ａｌｎ ξ ＋ ｂｌｎ（１ － ξ ） － ｃｌｎ［１ ＋ α（ ξ ? ξ ｃ － １）］ ＋ ｄａｒｃｔａｎ［ α （ ξ ? ξ ｃ － １）］｝ ＋ Ｃ （２０）
槡
２ κβ ０ ０ ０ ０
时，Ｕ ＝ Ｕ ，则式（２０）可转化为：
式中 Ｃ为待定积分常数。由于 ξ ＝ ξ ｍａｘ ｍａｘ
ｕ ｂ ξ ｍａｘ １ － ξ ｍａｘ １ ＋ α（ ξ ｍａｘ ξ ｃ ２
? － １ ）
Ｕ ＝ Ｕ － { ＋ ｂｌｎ － ｃｌｎ ＋
ａｌｎ
ｍａｘ ０ ０ ０ ２
２ κβ ξ １ － ξ １ ＋ α（ ξ ? ξ ｃ － １）
（２１）
－
槡
（ α ? ξ ｃ ）（ ξ ｍａｘ ξ ） }
ｄａｒｃｔａｎ
０
? － １）（ ξ ? ξ ｃ
１ ＋ α （ ξ ｍａｘ ξ ｃ － １）
(
公式（ ２１）即为冰封河道纵向时均流速垂向分布的解析解，其中， ξ∈ ０，１ )。
在应用式（２１）预测冰封河道纵向时均流速垂向分布之前，首先需要确定式（２１）中的物理参数，具
由式（８）及
ｍａｘ
体步骤为：最大纵向时均流速 Ｕ 由纵向时均流速 Ｕ的垂向分布实测数据确定；参数 ξ ｍａｘ
１ － λ
２ ｎ
ｂ
ξ ｍａｘ ＝ ｈ?Ｈ确定；进而，由 ξ ｍａｘ ＝ １?（１ ＋ λ）确定参数 λ ，由 ξ ｃ ＝ １?（１ ＋ λ）确定 ξ ｃ ，由公式 α ＝ ２ｎ 和 β ＝
λ － λ
２ｎ
λ － λ
分别确定参数 α和 β ；对于河床区摩阻流速 ｕ ，基于式（２１）及实测流速数据，应用最小二
ｂ
２ｎ
２（１ － λ ）
乘法确定。通过上述步骤，便可求得解析解（ ２１）中的待定物理参数，进而可计算冰封河道中纵向时均
流速的垂向分布。
３ 分析与讨论
为了验证本文解析解（２１）的可靠性和精确性，基于以往实测流速数据，将其流速计算结果与对数
公式和双幂律公式的计算结果进行对比分析。所采用的冰封河道水槽实验和野外原型实验的流速数据
共包括 １２种工况，其中水槽实验涵盖了光滑冰盖和粗糙冰盖且均是在均匀流状态下开展的，主要通
过布置测针来监测水槽实验段内水深是否沿程发生变化来判定水流是否达到均匀流状态。为方便起
［２９］
见，Ｌａｕ和 Ｋｒｉｓｈｎａｐｐａｎ ［２７］ 的实验工况简记为 ５Ｃ、６Ｃ和 ７Ｃ，Ｓａｙｒｅ和 Ｓｏｎｇ 的实验工况简记为 ＡＳ、
ＡＲ、ＢＳ和 ＢＲ，魏良琰和黄继忠 ［３４］ 的实验工况简记为 ＷＳ和 ＷＲ，Ｗａｎｇ等 ［３５］ 的实验工况简记为 ＷＭ，
罗红春 ［３６］ 的原型实验工况简记为 ＬＭ和 ＬＲ。下面针对上述 １２种工况的实验方案进行简单描述。
［２７］
Ｌａｕ和 Ｋｒｉｓｈｎａｐｐａｎ 在长 ５７．３ｍ、宽 ０．７５６ｍ、深 ０．２９ｍ的矩形水槽中模拟冰封河道开展水流特性
３
实验，槽底铺设中值粒径为 ０．１５ｍｍ的玻璃珠，底坡 Ｓ保持 ０．００１不变，流量变化范围为 ０．０１５４ｍ ?ｓ～
０
３
［２９］
０．０２７４ｍ ?ｓ，冰盖由 １．９ｃｍ厚的胶合板模拟，其底面黏合层压塑料以形成光滑冰盖；Ｓａｙｒｅ和 Ｓｏｎｇ
在具有玻璃侧壁的循环水槽中模拟冰封河道并开展实验，测量段长 ２７．４ｍ、宽 ０．９１４ｍ、深 ０．４５ｍ，
槽底铺设中值粒径为 ０．２５ｍｍ的石英砂，底坡可调节且不干扰水槽运行，冰盖由光滑冰盖和粗糙冰盖
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