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的约束， 在 ｃ 接近于 ０ 时， 会导致差异很小的联系数， 计算得出的集对势值差别很大， 甚至趋于无穷
大， 在实际应用中遇到困难； 指数集对势克服了除法集对势分母为 ０ 的不足， 但量纲性质和数量变化
范围及联系数本意发生变化； 减法集对势又作了进一步改进， 保持了联系分量量纲性质和数量级变
化， 取值范围［－１， １］， 与联系数本意一致， 直观反映联系数整体宏观相对确定性发展趋势， 在水资
源承载力评价及诊断 ［１５，３４］ 、 水资源承载力空间均衡评价 ［１９］ 、 旱灾风险评估 ［３５］ 、 水资源复杂系统协调
发展 ［３６］ 等领域得到应用。 同时， 与物理学中万有引力原理相结合构建出引力减法集对势 ［３７］ ， 与物理
学热传递理论相结合， 构建基于热传递减法集对势 ［３８］ 等。 可见， 减法集对势克服了除法集对势和指数
集对势的主要不足， 且计算简便， 能直观反映联系数本意和集对事件关联程度整体发展趋势， 在水资
源领域得到快速发展和广泛应用。
表 １ 三元联系数集对势类型对比

序号 集对势类型 基本表达式 主要优势 主要不足
集对势原定义， 由 ａ， ｂ， ｃ 相对大小 ｃ 接近 ０ 时， 集对势趋于无穷大， 实际应
１ 除法集对势 ｓｈｉ（Ｈ）＝ ａ∕ｃ
细化集对势级别 用受到约束
改变了原联系分量 ａ， ｂ， ｃ 的量纲性质和
＝
２ 指数集对势 ｓｈｉ （Ｈ） ｅ ｅ ａ－ｃ 克服了除法集对势分母为 ０ 的不足
数量变化关系， 区间范围变为［１∕ｅ， ｅ］
克服了原集对势分母为 ０ 的不足， 保 不同元数的联系数减法集对势公式需进
＝
３ 减法集对势 ｓｈｉ （Ｈ） ｓ （ａ－ｃ）（１＋ｂ）
持了联系分量量纲性质和数量级变化 行进一步推算
３．３ 水资源偏联系数方法 联系数是同异反不同等级关系相互联系相互作用的不确定性结构函数， 从
辩证发展角度看这些等级之间可相互转化。 基于此， 赵克勤 ［２８］ 提出了偏联系数， 可定量计算同异反联
系分量从一个关系等级发展到相邻等级的变化率。 对于三元联系数 ａ＋ｂｉ＋ｃｊ， 假定当前状态 “同” 是
从 “异” 发展而来， 这种发展趋势的倾向程度可用 ａ ＝ ａ∕（ａ＋ｂ）表示； 同理， 从反到异的发展倾向可
＋
用 ｂ ＝ ｂ∕（ｂ＋ｃ）表示。 由此可得反映研究对象正向发展趋势的偏正联系数 μ， 反映研究对象负向发展
－
趋势的偏负联系数 μ ［２８］ ， 偏正、 偏负联系数之效应和构成全偏联系数、 代表集对系统由过去到当前
联系状态演化进程的综合发展趋势 ［２８，３９］ 。 偏联系数描述的是同一集对关系程度的同异反关系间相互辩
证转换， 一般用于刻画联系分量间的相互转化和集对发展趋势 ［１５］ ， 目前有全偏联系数、 半偏联系数。
全偏联系数可刻画各联系分量在微观层次上的正向和负向迁移的矛盾运动， 表征集对事件联系程
度矛盾运动的方向和强度 ［２８，３９］ ， 可反映集对事件中同异反状态变化、 判断集对事件发展趋势。 目前，
全偏联系数的计算公式尚未统一， 常见的代表性计算式主要有以下三类： 覃杰等 ［４０］ 把差异度系数 ｉ 分
＋
为 ｉ 与 ｉ ， 系数 ｉ 由 ｂ∕（ａ＋ｂ）位置调整到 ｃ∕（ｂ＋ｃ）的位置， 剔除了示性系数 ｊ， 代替为偏正联系数与偏
－
－
负联系数的差值来表示全偏联系数， 与原偏联系数含义有明显偏差； 陆广地等 ［４１］ 也把 ｉ 分为 ｉ 与 ｉ ，
－
＋
同时考虑了示性系数 ｊ 的影响， 但对偏负联系数的 ｉ 正、 负取值作用考虑不足； 金菊良等 ［４２］ 充分结合
－
偏正联系数的内涵， 对比给出偏负联系数的含义， 提出了效应全偏联系数， 参考偏正联系数及其正效
应， 区分了偏负联系数的负效应 ［５］ ， 差异度系数分别按正效应和负效应相应地取正值和负值， 并与减
法集对势进行随机模拟比较， 结果显示两者误差非常小， 认为效应全偏联系数作为三元联系数的全偏
联系数计算公式更为稳健和合理， 已在水资源承载力评价等问题中得到应用 ［４２］ 。 除三元偏联系数外，
还可相应扩展至更多元的偏联系数， 甚至从一阶向二阶和更高阶偏联系数拓展 ［４３］ 。 但目前， 高阶偏联
系数发展缓慢， 一方面从一阶向更高阶偏联系数拓展的理论支持不足， 缺少其物理内涵的解析； 另一
方面， 高阶全偏联系数计算式尚存在很大争议， 其计算值的含义、 验证途径及实际应用支撑都比较单
薄， 无疑限制了高阶偏联系数的发展。 可见， 目前关于偏联系数的计算表达式及其内涵尚未达成共
识 ［３，４４］ ， 联系分量演化前后的含义、 偏正与偏负联系数计算式中差异度系数的含义， 低阶差异度系数
与高阶偏联系数的关系、 各阶全偏联系数计算值的含义等关键问题尚未完全统一认识， 全偏联系数的
验证途径较少， 高阶偏联系数的理论研究和验证途径更显不足， 偏联系数的研究还有待通过基本内涵
剖析与定量计算甚至实际应用问题验证相结合的计算思维途径深入研究。

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