Page 39 - 水利学报2021年第52卷第5期

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æ t i öæ t i öé æ ρ i ö t i ù 2
Fr = f ç l ÷ç1 - H ÷ê ê 2g ç1 - ρ ÷(1 - e ) H ú ú （5）
c
è i øè øë è ø û
式中：V 为冰盖前缘上游水流的平均流速，m/s；H 为冰盖前缘的水深，m； t 为冰块厚度，m； l 为
i
i
æ t i ö
冰块长度，m； f ç l ÷ 为流冰的形状系数，取值在 0.66 ~ 1.3 之间变化；e 为冰块孔隙率； ρ 为水体
è i ø
的密度，kg/m ； ρ 为冰体的密度，kg/m ；g 重力加速度，m/s 。
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3
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i
当弗劳德数超过 Fr 时，冰块将出现翻转、下潜，冰盖将以水力加厚模式推进，这时冰盖初始
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厚度 h ice 的计算公式可用 Michel 计算 ［19］ ：
é h æ ρ ù ö 1/2 æ h ö
Fr = ê ê 2 ice (1 - e c )ç1 - i ú ú ÷ ç1 - ice ÷ （6）
ë H è ρ û ø è H ø
)
式中： e = e + ( 1 - e e ，为整个冰块的孔隙率， e 为冰块间空间间隙的孔隙率。式（6）中，存在一
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个最大弗劳德数 Fr ，当冰盖前沿弗劳德数 Fr 超过 Fr （ Fr > Fr ），冰盖不能向前发展。
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黄河内蒙古河段冰情计算中，由于结冰过程中的某些观测数据（冰花浓度、面冰密度、锚冰等）
缺乏，无法对过程相关参数进行率定，结冰过程主要率定临界弗劳德数 Fr 和最大弗劳德数 Fr ，计
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算中取 Fr =0.06， Fr 根据计算河段的糙率、地形和走向等综合考虑分段率定，计算河段 1 ~ 50 km
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取 Fr =0.11，50 ~ 174 km 取 Fr =0.13，174 km-末端取 Fr =0.097。
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4 黄河内蒙河段冰情的模拟
冰情演变是一个非常复杂的物理过程，其发展过程模拟的数学模型包括水流的热扩散方程、冰
花的扩散方程、冰盖下水流的输冰能力方程、水面浮冰的输运方程、冰盖和冰块厚度的发展方程
等。本研究采用加拿大 Alberta 大学开发的开放冰情计算软件 RIVER 1D 模拟水温、冰花浓度、岸冰的
形成、冰花的输移及冰盖等要素的发展过程 ［23］ ，并根据黄河冰情的特点优化和改进了该软件。
4.1 冰盖厚度的模拟 2012 年 11 月 6 日—2013 年 3 月 20 日三湖河口冰盖厚度发展过程模拟如图 9 所

示，冰厚测量数据显示，2012 年 12 月 23 日除部分清沟外研究河段全线封冻，2013 年 2 月 1 日冰厚已
发展达到最大值。三湖河口模拟式和实测值的均方根误差和绝对误差均值见表 2，其中整个冬季、冰
盖增长期（2012 年 11 月 6 日—2013 年 2 月 1 日）和冰盖消融期（2013 年 2 月 2—20 日）模拟值和实测值的
均方根误差分别是 0.063 m、0.047 m 和 0.079 m，绝对误差均值分别为 0.055 m、0.046 m 和 0.070 m，
可以看出冰盖增长过程模拟误差比融冰期小。
三湖河口冰盖厚度模拟值和实测值的误差分析如下：（1）在冰厚增长期，热力作用为冰盖厚度增
加的主要因素，而在冰盖消融期，冰盖并不是按照静止不动通过热力作用就地融化消失，通常开河
阶段是由热力和动力共同作用，随着冰盖厚度的减小，冰盖强度也随之降低，当冰盖消融到一定厚
度时，就会在水动力作用下破裂，向下游流动，但在一维冰情模拟中冰盖发展过程数学模型未能考
虑动力因素的影响，所以冰盖厚度增长期模拟精度高于冰盖消融期。（2）冰盖厚度采用冰面凿冰孔后
量冰尺深入冰盖下测量，固定点冰厚测量位置是否具有代表性、凿冰过程中冰盖结构破坏程度等不
可控因素对冰盖测量的精度影响较大。但整个冬季和冰盖厚度增长期实测值和模拟值的均方根误差
分别为 0.063 m 和 0.047 m，且模拟值和实测值发展趋势一致。
4.2 冰盖前沿的发展 计算中设置 7 个冰桥位置，从上游到下游依次为：①昭君坟上游附近、②包
头和昭君坟之间、③包头附近、④五犋牛浮桥、⑤五犋牛浮桥下游、⑥头道拐上游和⑦下游边界
（如图 10 所示），冰桥①为内蒙古河段首封位置，该位置距离上游巴彦高勒水文站 286.7 km，2012 年
12 月 23 日封冻上首发展到上游巴彦高勒，图 11 为整个冬季冰桥①前沿发展过程模拟值和实测值的比
较。从图上看冰盖前沿发展过程实测值和模拟值吻合较好，整个冬季模拟值和实测值的均方根误差

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