Page 6 - 水利学报2021年第52卷第6期

是在考虑多个属性的情况下，选择最优方案或进行方案排序。综合考虑水资源系统的影响因素，对
其韧性水平进行时空排序，进而分析其演化规律，开展水资源系统韧性的评价与调控，对于水资源
系统的安全维护和可持续发展策略的制定具有重要的指导意义。
勾股模糊集方法是多准则决策过程中决策矩阵的重要获取途径之一。Yager 等 ［16-17］ 研究了勾股模
糊数（Pythagorean Fuzzy Numbers，PFNs）和复数之间的联系，讨论了一种决策方法，随后定义勾股聚
类算子，并应用于新的 MCDM 问题处理技术之中 ［18］ 。Zhang 等 ［19-20］ 提出了基于备择方案与理想解的相
似性度量的 PF（Pythagorean Fuzzy，PF）-MCDM 决策方法。Ma 等 ［21］ 构建了对称勾股模糊算子并应用
于 MCDM 问题中。Ren 等 ［22］ 开发了勾股模糊集用于交互式多准则决策的方法；李德清等 ［23］ 基于距离
测度，结合排序函数构建了一种勾股模糊集多属性决策模型。
近年来，将勾股模糊集与 VIKOR（Vlsekriterijumska Optimizacija I KOmpromisno Resenje，VIKOR）

方法融合，结合正负理想点和距离测度进行排序与决策是一个前沿的研究方向。如：Muhammet Gul
等 ［24］ 以矿山安全风险评价为例，将勾股模糊 VIKOR 方法应用于职业风险评价，融合考虑职业健康安
全专家在主观判断过程中感知的不确定性和模糊性，提出一种新的职业健康安全风险评估方法来确
定风险等级；Liang 等 ［25］ 在传统 VIKOR 方法的基础上，通过引入 TODIM（an acronym in Portuguese for
Interactive Multi-criteria Decision Making，TODIM）处理决策者的心理行为，定义勾股模糊熵和交叉熵
测度，提出了一种折衷解决方案的新视角，并应用于加纳银行业网上银行网站质量的评价；Pratibha
R 等 ［26］ 基于勾股模糊熵和散度将勾股模糊集 VIKOR 方法应用于印度可再生能源技术的评价之中，等
等。可见，勾股模糊集与 VIKOR 方法的融合，已经在诸多领域取得了成功应用，但在以往研究中，
勾股模糊决策数往往依据专家经验进而通过语言量表对应获得，相邻等级之间具有绝对分明的边
界。而事实上，特定指标下某一待评对象的状态，往往在两个相邻等级之间模糊存在；若绝对地将
其归为某一等级，则均会损失一定的客观性。以水资源系统韧性为例，若某一指标的值处在［20，
30］为 一 级 ， 对 应 勾 股 模 糊 数 为［0.85， 0.15］； 处 在［30， 40］为 二 级 ， 对 应 勾 股 模 糊 数 为［0.75，
0.25］，那么如果某一待评对象的该指标值为 30，则需考虑如何确定其勾股模糊数。根据可变集相对
隶属度的方法，该待评对象对于该指标应该在一级和二级之间对立统一，这符合人们的思维认知。
基于此，首先采用可变集相对隶属度的方法获取勾股模糊决策矩阵，构建一种可变勾股模糊
VIKOR 多准则评价模型；其次从韧性视角出发，构建指标体系与等级标准，进一步将模型应用于长
江经济带的水资源系统韧性评价，给出调控策略，为该区域的水资源安全和可持续发展提供支持。

2 主要方法

水资源系统是一个复杂系统，其韧性水平及影响因子往往具有模糊不确定性。模糊隶属函数是
解决该类问题的有效手段之一。然而，由于水资源系统和人类思维的复杂性，传统的隶属度已不能
满足实际决策需求。勾股模糊集、可变模糊集等几种新的工具应运而生。本文主要利用可变集中相
对隶属度方法对勾股模糊集进行改进，进而与 VIKOR 多目标决策方法进行融合拓展研究。
2.1 勾股模糊集 勾股模糊集（Pythagorean Fuzzy Sets，PFSs）放宽了直觉模糊集理论中隶属度与非隶

属度之和小于等于 1 这一条件，约定隶属度与非隶属度之和可以超过 1，但其平方和不超过 1。勾股
模糊集中的隶属度和非隶属度对应勾股定理中的两个勾股数，故 Yager 形象地称其为勾股模糊集 ［16］ 。
对于水资源系统的抵抗性、恢复性和适应性水平，从隶属度和非隶属度两方面综合表达更符合人们
的思维认知。
设论域 X 上的一个勾股模糊集 PFSs 指的是如下形式的一个集合：
x
x
P ={ < x ，u ( )，v ( ) > | x ∈ X } （1）
P
i
i
i
i
P
)
)
2
2
x
x
其中u :X → [0，1 ]，v :X → [0，1 ]。若满足对于任意x ∈ X， ( u ( ) + ( v ( ) ≤ 1，则分别称
i
P
i
P
i
P
P
)
u 和 v 为 x 对 P 的隶属度和非隶属度，称 π ( ) = 1 - ( u ( ) - ( v ( ) ) 为 x 对 P 的犹豫度或不确定
2
2
x
x
x
P
i
i
i
P
i
P
i
P
P
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