Page 7 - 水利学报2021年第52卷第6期

度。
若将隶属度 u（x）和非隶属度 v（x）看作二维直角坐标系中横坐标轴和纵坐标轴上的向量，则
P
i
i
P
)
)
2
2
x
x
x
r ( ) = ( u ( ) + ( v ( ) 视为隶属度与非隶属度向量的模，称为勾股模糊集 P 的自信度；自信度
P
i
i
P
P
i
x
x
的作用效果与r ( )和u ( )所在方向的夹角有关。
i
i
P
P
x
x
x
x
x
设r ( )和u ( )所在方向的夹角为θ ( )，Yager 定义了一个刻画自信度r ( )方向的量d ( )，
i
P
i
P
P
i
i
P
i
P
2θ ( )
x
)
x
x
x
x
x
称 为 自 信 度 的 方 向 ［16］ 。 其 中 ， d ( )∈[0，1 ]， 且 d ( ) = 1 - P π i ， u ( ) = r ( )cos( θ ( ) ，
P
i
P
P
i
i
P
i
i
P
)
x
x
x
v ( ) = r ( )sin( θ ( ) 。
P
P
i
i
P
i
2
2
Zhang 等 ［19］ 记 p=（u ， v ）， 称 其 为 勾 股 模 糊 数（PFNs）。 相 应 地 称 r = u + v 为 p 的 自 信 度 ；
p
p
p
p
p
π = 1 - u - v 为 p 的犹豫度。
2
2
p
p
p
2.2 勾股模糊熵与散度 水资源系统是一个多因子耦合系统。确定各因子的权重，对于评价与调
控至关重要。熵和散度是勾股模糊集理论中的重要概念，也是权重确定的主要工具。Pratibha-Rani
等 ［26］ 在直觉模糊熵的基础上定义了勾股模糊集的 PF 熵和 PF 散度。在 PF 熵和 PF 散度的基础上给出勾
股模糊数（PFNs）的熵和散度。
设勾股模糊数 p=（u ，v ），则其 PF-熵为
p
p
ææ u + 1 - v 2 ö æ v + 1 - u 2 ö æ v + 1 - u 2 ö æ u + 1 - v 2 ö ö
2
2
2
2
ζ ( ) p = 1 çç p p ÷expç ç p p ÷ + ç ç p p ÷expç ç p p ÷ ÷ - 1 ÷ ÷ （2）
÷
çç
÷
÷
e - 1 èè 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø ø
当 u +v =1 时，上式可简化为
p
p
v p u p
u e + v e - 1
p
p
ζ ( ) p = （3）
e - 1
设有勾股模糊数 p=（u ，v ），t=（u ，v），其散度可表示为
p
t
t
p
ææ ( u + u 2 ) + 2 - ( v + v 2 ) ö æ ( v + v 2 ) + 2 - ( u + u 2 ) ö
2
2
2
2
ç
)
ξ( p，t = 1 çç ç p t p t ÷ ÷ exp ç ç p t p t ÷ ÷ +
ç
e - 1çç ç 4 ÷ ÷ ç ç 4 ÷ ÷
èè ø è ø
æ ( v + v 2 ) + 2 - ( u + u 2 ) ö æ ( u + u 2 ) + 2 - ( v + v 2 ) ö
2
2
2
2
ç ç p t p t ÷ ÷ exp ç ç p t p t ÷ ÷ -
ç ç 4 ÷ ÷ ç ç 4 ÷ ÷
è ø è ø （4）
ææ u + 1 - v 2 ö æ v + 1 - u 2 ö æ v + 1 - u 2 ö æ u + 1 - v 2 ö
2
2
2
2
1 çç p P ÷expç p P ÷ + ç p P ÷expç p P ÷ +
2 çç 2 ÷ ç 2 ÷ ç 2 ÷ ç 2 ÷
èè ø è ø è ø è ø
æ u + 1 - v 2 ö æ v + 1 - u 2 ö æ v + 1 - u 2 ö æ u + 1 - v 2 ö ö ö
2
2
2
2
ç ç t t ÷expç ç t t ÷ + ç ç t t ÷expç ç t t ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
÷
÷
÷
è 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø ø ø
当 u +v =1 时，上式可简化为
P
P
v
æ æ u + u ö æ v + v ö æ v + v ö æ u + u ö u e + v e u p + u e + v e u t ö
v
p
t
)
ξ( p，t = 1 ç ç ç ç p t ÷ ÷ expç ç p t ÷ ÷ + ç ç p t ÷ ÷ expç ç p t ÷ ÷ - p p t t ÷ ÷ （5）
e - 1 ç ç è 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø 2 ÷ ÷
è ø
2.3 可变集与相对隶属函数 由于水资源系统韧性相邻等级之间没有明确的边界，评价对象关于某
个指标的等级也具有模糊性，应该介于两个相邻等级之间，且满足对立统一性。陈守煜先生 ［27］ 于
2005 年提出的可变集方法是解决此类问题的有效手段。
可变集方法针对经典集合和模糊集合只研究静态事物、现象与概念的问题，考虑事物变化过程
中呈现出“非此即彼”的清晰性与“亦此亦彼”的模糊性两者辩证对立统一的特性，提出了动态相对隶
— 635 —