Page 61 - 2022年第53卷第4期

型的径流模拟精度可有效反映流域蒸散发的模拟效果。模型优选按以下步骤进行：首先，分析单个
模型的模拟效果，确定备选模型；其次，使用 BMA 方法进行多模型集成，分析不同模型组合在集成
后的模拟精度与不确定性；最后，综合分析单个模型与模型集成在研究区域的适用性。
BMA 是一种基于贝叶斯理论的统计后处理方法，可以结合多个模型进行联合推断和预测，其核
心是以后验概率作为权重，对备选模型进行概率的加权平均 ［32-33］ ：
K
p
ù =
p é y |( f ，…，f ，y T ) å ( f |y T ) p k( | y ( f ，y T ) ) （1）
ë 1 k û k k
k = 1
T
f
式中： y为多模型集成结果； f = f ， …， f 为k个模型的模拟值； y 为通过实测值； p( | y T ) 为第k个
1 k k
模型模拟值的后验概率，即模型权重； p k( | y ( f ，y T ) ) 表示与单个模型的模拟结果 f 相联系的条件概
k
k
率密度函数。BMA 多模型集成的期望值和方差分别为：
K K
[
E ( | y ( f ，…，f ，y T ) ) = å ( | y T ) ∙E g ( | y f ，σ 2 ] ) = å w f （2）
p f
1 k k k k k k
k = 1 k = 1
K K K
k å
Var ( | y ( f ，…，f ，y T ) ) = å ( f - w ) + å w σ 2 （3）
f
w
2
1 k k i i k k
k = 1 i = 1 k = 1
式中： g ( | y f ， σ k 2 ) 表示均值为 f 、方差为σ 的正态分布；w 为第k个模型的权重；方差包含两项，
2
k
k
k
k
2
分别为模式间方差与模式内方差。模型集成中单个模型的权重w 和方差σ 可通过期望最大化（EM）算
k
k
法求解，算法流程参见文献［26，34］。
［37］
［36］
2.2.2 模型评价指标 本文采用纳什效率系数（NSE） 、相关系数（r）、均方根误差（RMSE） 作为模
拟精度的评价指标，使用覆盖率（CR）、平均相对带宽（RB）来衡量 BMA 集成模拟的不确定性 ［33］ ，通过
综合考虑模拟精度与不确定性范围来进行模型优选。表 1 所示为各个指标的计算公式。
表 1 模型评价指标及计算公式
评价指标 计算公式 备注
N：数据长度
N N
2
NSE NSE = 1 - å( X - Y i ) å(Y - Y ˉ ) 2 X ，X ˉ ：模型模拟的水文变量序列及其均值
i
i
i
i = 1 i = 1
Y ，Y ˉ ：实测水文变量序列及其均值
i
N
å( X - X ˉ )(Y - Y ˉ )
i
i
r r = N i = 1 N
)
2
å( X - X ˉ ∙ å(Y - Y ˉ ) 2
i
i
i = 1 i = 1
N
RMSE RMSE = 1 å( X - Y ) 2
N i i
i = 1
CR CR = n n：位于不确定性区间内的个数
N
æ N X - X ö
1
ç
RB RB = N ç å u i l i ÷ ÷ X ，X ：不确定性区间的上边界和下边界
u i
l i
è i = 1 X i ø
2.2.3 天然蒸散发数据的概率集成 通过将 BMA 权重赋予备选模型模拟的蒸散发序列，最终得到蒸
散发集成模拟结果与不确定性区间。步骤如下：（1）考虑到天然情况下的径流和蒸散发变量通常是非
正态的，而 BMA 方法假定条件分布需服从正态分布，首先使用 Box-Cox 变换对各个模型的蒸散发序
列进行正态转换；（2）使用蒙特卡罗组合抽样方法随机抽选出某个备选模型，重复抽选 100 次以生成
逐时段的样本分布；（3）将样本从小到大排序，使用 5%和 95%分位数分别作为上下边界，即可得到
90%置信区间内的不确定性范围；（4）使用 Box-Cox 逆变换，得到多模型集成蒸散发序列的期望值与
不确定性范围。具体算法可参见文献［26，34-35］。
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