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了一致频率非平稳性的人工地震波作用下土石坝结构响应的不确定性；另一方面，在控制持时、反应
谱和能量累积等关键地震动参数的条件下，研究了地震波非平稳特性对考虑了边界面软化非线性本构
的土石坝结构响应的影响规律。

２ 基于小波包变换的地震动非平稳性刻画及人工地震波随机模拟方法

２．１ 小波包分解及地震动非平稳性的刻画 小波包变换在模拟生成人工地震波时具有效率高和分辨率
高等优点，基于小波包变换，地震动加速度时程 ｘ（ｔ）能以小波包的形式被分解成时间域和频率域，公
式如下：
∞
ｊ，ｋ ∫
ｉ
ｉ
ｃ ＝ ｘ（ｔ） ψ ｊ，ｋ （ｔ）ｄｔ （１）
０
ｉ ｉ
ｊ，ｋ
式中：ｃ 为小波包系数，其值的平方等同于地震动能量（加速度幅值的平方）；ψ ｊ，ｋ 为小波包基函数；
下标 ｊ为分解层数，下标 ｋ和上标 ｉ分别为小波包在时间轴和频率轴的位置。
同样，根据小波包系数的分布，通过小波包逆变换，能重构得到加速度时程 ｘ（ｔ）：
ｊ Ｎ－ ｊ
２ ２
ｉ
ｉ
ｘ（ｔ） ＝ ∑∑ ｃ ψ ｊ ，ｋ （ｔ） （２）
ｊ ，ｋ
ｉ ＝１ ｋ ＝１
Ｙａｍａｍｏｔｏ和 Ｂａｋｅｒ基于小波包变换提出了一个高效的地震动随机模拟模型，根据能量大小，小波
包被分别编入主要能量组和次要能量组，其中主要能量组小波包占总能量 ７０％，次要能量组含 ３０％，
并总结出 １３个模型参数来刻画小波包在时 － 频域的分布 ［６］ 。１３个统计参数分别为：Ｅ 代表总能量；
ａｃｃ
Ｅ（ｔ） 和 Ｅ（ｔ） 代表主要能量组和次要能量组小波包在时间轴的形心；Ｓ（ｔ） 和 Ｓ（ｔ） 代表主
ｍａｊｏｒ ｍｉｎｏｒ ｍａｊｏｒ ｍｉｎｏｒ
要能量组和次要能量组小波包分布在时间轴的标准差；Ｅ（ｆ） ｍａｊｏｒ 和 Ｅ（ｆ） ｍｉｎｏｒ 代表主要能量组和次要能量
组小波包在频率轴的形心；Ｓ（ｆ） ｍａｊｏｒ 和 Ｓ（ｆ） ｍｉｎｏｒ 代表主要能量组和次要能量组小波包分布在频率轴的标
准差；Ｓ（ ξ ）代表次要能量组小波包幅值的离散度；ρ （ｔ，ｆ） 和 ρ （ｔ，ｆ） 代表主要能量组和次要能
ｍａｊｏｒ ｍｉｎｏｒ
量组小波包在时域和频域分布上的相关性关系，反映了频率成分随时间变化的特征，能有效刻画地震
动的时－ 频非平稳性。
主要能量组和次要能量组小波包的非平稳性参数 ρ （ｔ，ｆ）可以通过各自小波包参数及分布，由下
式分别计算得到：
ｉ
［ｔ － Ｅ（ｔ）］［ｆ － Ｅ（ｆ）］ ｃ ２
∑ ｉ ∑ ｋ ｋ ｉ ｊ ，ｋ
ρ （ｔ，ｆ） ＝ （３）
Ｓ（ｔ）Ｓ（ｆ）Ｅ
ａｃｃ
式中 ｔ和 ｆ分别为小波包中心在时间轴、频率轴的投影位置。
ｉ
ｋ
我们提出计算每一个时间窗格 ｔ的平均频率，可以观察平均频率随时间的变化情况：
ｋ
ｉ
ｆ ｃ ２
∑ ｉ ｉ ｊ ，ｋ
ＭｅａｎＦｑ ＝ ｋ ＝ １ ，２，… （４）
ｉ
ｃ ２
∑ ｉ ｊ ，ｋ
图 １展 示 了 两 条 实 测 地 震 动，其 中 １＃地 震 动 记 录 于 １９９４年 美 国 Ｎｏｒｔｈｒｉｄｇｅ地 震 ＬｏｓＡｎｇｅｌｅｓ
ＢａｌｄｗｉｎＨｉｌｌｓ台站正东方向，２＃地震动记录于 １９８９年美国 ＬｏｍａＰｒｉｅｔｔａ地震 Ａｎｄｅｒｓｏｎｄａｍ台站。从
图 １（ａ）加速度时程很容易发现，１＃地震动具有很强的非平稳性，特别是地震波后段明显存在着表面
波，而图 １（ｄ）所示的 ２＃地震波则接近平稳，地震动全程以高频成分为主。从图 １（ｂ）可以看出，１＃地
震波的平均频率随着时间推移呈现逐渐降低的趋势，后期平均频率小于 １Ｈｚ；而图 １（ｅ）则反映 ２＃地
震波的平均频率随时间变化几乎保持不变。从对应的小波包谱中我们更能精细观察到频率成分随着时
间变化的情况，其反映的小波包时－ 频分布特征和前两者相同。同时，计算所得 １＃地震波对应的非平稳
性参数 ρ （ｔ，ｆ） 和 ρ （ｔ，ｆ） 分别是－ ０．４６ 和－ ０．３６ ，表明非平稳性强烈；２＃地震波对应的 ρ （ｔ，ｆ） 和
ｍａｊｏｒ ｍｉｎｏｒ ｍａｊｏｒ
ρ （ｔ，ｆ） ｍｉｎｏｒ 分别为－ ０．０９和－ ０．１０ ，表明其接近平稳。参数所反映的地震波非平稳性特征和前面的分析
十分吻合。

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