Page 50 - 2023年第54卷第2期

（ｔ）） （１）
ｕ（ｔ） ＝Ａ（ｔ）ｃｏｓ（  ｋ
ｋ ｋ
（ｔ）为非递减函数；Ａ（ｔ） ≥０为包络线。
ｋ
式中：相位  ｋ
( ｊ ) ２
（ ２）通过希尔伯特变换得到每个模态的 单向频 谱 δ （ｔ） ＋ π ｔ  ｕ（ｔ），δ 为 狄拉 克分 布，ｊ＝－ １ ，
ｋ
为卷积。
（ｔ）变化缓慢。每个本征模函数 ｕ（ｔ）与调
ｋ
（ ３）定义瞬时频率 ω ｋ （ｔ） ＝  ′（ｔ） ≥０，且 ω ｋ （ｔ）相对于  ｋ ｋ
( [ ｊ ) ] － ｊ ω ｋ ｔ
的指数混频，将模态的频谱移至基频带 δ （ｔ） ＋ ｕ（ｔ） ｅ 。
谐到相应估计中心频率 ω ｋ π ｔ ｋ
（４）求解解调信号的高斯平滑度（梯度的平方范数），确保各模态估计带宽之和最小，且任意时刻
所有模态之和等于原始信号，得到的约束变分问题如下：
]
( [
∑
ｍｉｎ ＧＳ ＝  ｔ δ （ｔ） ＋ ｊ ) ｕ（ｔ） ｅ － ｊ ω ｋ ｔ ２ ，ｋ ＝ １，２，…，Ｌ
｛ｕ ｋ ｝，｛ ω ｋ ｝ π ｔ ｋ
ｋ ２ （ ２）
∑
ｓ．ｔ． ｕ＝ ｆ （ｔ）
ｋ
ｋ
为单
式中：ＧＳ为解调信号的高斯平滑度；ｕ（ｔ）是分解后的单分量调频调幅信号，即本征模函数；ω ｋ
ｋ
分量调频调幅信号的中心频率。
（ ５）采用惩罚因子 α和拉格朗日乘子 λ将上述约束问题转换为非约束问题：
( [
]
｝，λ ） ＝α  ｔ δ （ｔ）＋ ｊ ) ｕ（ｔ） ｅ － ｊ ω ｋ ｔ ２ ＋
ｋ
Ｌ（｛ｕ｝，｛ ω ｋ ∑ ｋ
ｋ π ｔ ２
２
∑
ｆ（ｔ） － ｕ（ｔ） ＋ 〈 λ ，ｆ（ｔ） － ∑ ｕ（ｔ）〉 （３）
ｋ
ｋ
ｋ ２ ｋ
（ ６）根据傅里叶变换中的帕塞瓦尔定理，信号的能量在时域和频域具有等效性，将时域的问题在
ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ ＾ ｎ ＋ １
ｋ
频域解决。利用交替方向乘子法迭代更新模态函数 ＾ｕ 、中心频率 ω ｋ 和拉格朗日乘子 λ ，最终得
ｎ ＋ １ ｎ ＋ １ ＾ ｎ ＋ １
到信号分解的所有模态。 ＾ｕ 、ω ｋ 和 λ 的迭代公式如下：
ｋ
＾
ｎ
λ（ ω ）
＾ ∑ ｕ ｎ ＋ １ ∑ ｕ ｎ
＾ （ ω ） －
ｆ（ ω ） －
＾ （ ω ） ＋
ｉ
ｉ
ｕ ｎ ＋ １ ＝ ｉ＜ｋ ｉ＞ｋ ２
＾
ｋ
ｎ ２
１ ＋ ２ α （ ω － ω ｋ ）
!
∫ ｎ ＋ １ ２ （ ４）
ω ＾ｕ （ ω ） ｄ ω
ｋ
ｎ ＋ １ ０
ω ｋ ＝
!
ｕ ｎ ＋ １ ２
＾ （ ω ） ｄ ω
∫ ｋ
０
＾
＾
＾
ｎ
＾ （ ω ））
λ ｎ ＋ １ ＝ λ（ ω ） ＋ τ （ ｆ （ ω ） － ∑ ｕ ｎ ＋ １
ｋ
ｋ
式中：＾为信号傅里叶变换对应的频域形式；τ 为噪声容忍度；ｎ为迭代次数。
（７）迭代停止条件。ε 为收敛容许度误差常量，迭代停止条件表达式为：
Ｌ
２
ｎ ＋ １
ｎ
∑ ‖ ＾ｕ － ＾ｕ‖ ２
ｋ
ｋ
ｋ ＝１
＜ ε （５）
ｎ ２
‖ ＾ｕ‖ ２
ｋ
２．２ 长短 期 记 忆 神 经 网 络 （ＬＳＴＭ） 对 于 时 间 方 向 上 有 依 赖 关 系 的 数 据 的 学 习， 循 环 神 经 网 络
（ ＲｅｃｕｒｒｅｎｔＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋ，ＲＮＮ）表现出结构简单和网络可扩展性强的特点和优势。ＲＮＮ学习过程依
赖误差反向传播，随着网络加深，梯度表达式中会出现各权重矩阵参数的连乘项非常接近 ０或者大于
１，不可避免出现梯度弥散或者爆炸，训练优化过程变得异常困难。为了解决 ＲＮＮ难以在长序列数据
上构建起 “长期依赖关系” 的问题，ＬＳＴＭ模型（改进的 ＲＮＮ）于 １９９７年被提出，其网络循环与计算
结构如图 １。ＬＳＴＭ模型具体计算公式和细节，可参考 Ｈｏｃｈｒｅｉｔｒ等 ［２６］ 。
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