Page 7 - 2024年第55卷第12期

２．２ 土石坝坝坡参数随机场的实现 本文采用 Ｋ － Ｌ展开法结合 ＬＨＳ技术和 Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解来生成二维
随机场。Ｋ － Ｌ展开法可以有效地捕获随机场的空间相关性；而 ＬＨＳ技术可以确保在每个维度上均匀采
样，避免聚集问题；Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解用于处理协方差矩阵，确保生成的随机场保持了所需的相关性。其
过程如下：
考虑一个二维空间域［ ｘ ，ｘ ］ × ［ｙ ，ｙ ］，在该域内定义一个均匀分布的网格，网格点数由
ｍｉｎ ｍａｘ ｍｉｎ ｍａｘ
参数 ｘ和 ｙ决定。
ｎ
ｎ
黏聚力和内摩擦角的均值向量和协方差矩阵分别为
μ ｃ
μ ＝ （２）
μ φ
ＣＯＶ ２ ρ ｃ， φ
ｃ
Σ ＝ （３）
ＣＯＶ ２
ρ ｃ， φ φ
为相关系数。
φ
ｃ
式中：ＣＯＶ、ＣＯＶ分别为黏聚力和内摩擦角的变异系数；ρ ｃ， φ
自相关函数是描述随机场空间变异性的关键，本文选取指数型自相关函数定义相关系数矩阵，其
表达式如下
( ｘ － ｘ ｊ ｙ － ｙ ｊ )
ｉ
ｉ
Ｃ ＝ ｅｘｐ－ － （４）
ｉｊ ｌ ｌ
ｖ
ｈ
式中：Ｃ为随机场中位置（ｘ，ｙ）和（ｘ，ｙ）之间的相关性；ｌ、ｌ分别为水平自相关距离与竖直自相
ｉｊ ｉ ｉ ｊ ｊ ｈ ｖ
关距离。
考虑到土体参数通常遵循对数正态分布，对黏聚力 ｃ和内摩擦角 φ的均值和方差进行转换。
２
(
σ ｃ
＝ ｌｎ１ ＋ ( )) （５）
σ ｌｎｃ
槡 μ ｃ
１
２
μ ｌｎｃ ＝ ｌｎ μ ｃ － σ ｌ ｎ ｃ （６）
２
２
σ
(
φ
＝ ｌｎ１ ＋ ( )) （７）
槡 μ φ
σ ｌｎ φ
１
２
φ
μ ｌｎ φ ＝ ｌｎ μ－ σ ｌ ｎ φ （８）
２
和相应的特征向量 ｖ
接着，求解 Ｃ的特征值 λ ｎ
ｎ
ｖ （９）
Ｃｖ＝ λ ｎ ｎ
ｎ
式中 Ｃ为根据点之间的空间距离构建的 Ｎ × Ｎ相关系数矩阵，Ｎ为随机场网格点的数量。
在 ＭＡＴＬＡＢ中，使用 ｅｉｇｓ函数针对大型稀疏矩阵 Ｃ求解前 Ｍ个最大的特征值和对应的特征向量，
Ｍ也被称为截断项数。
［ Ｖ，Ｄ］ ＝ ｅｉｇｓ（Ｃ，Ｍ） （１０）
式中 ｅｉｇｓ（Ｃ，Ｍ）返回矩阵 Ｃ的前 Ｍ个最大特征值包含在对角矩阵 Ｄ中，以及相应的特征向量组成的
矩阵 Ｖ。
为了使得生成的随机场能够保持原始参数之间的相关性，使用 Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解来处理协方差矩阵。
具体来说，Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解将协方差矩阵 Σ分解为一个下三角矩阵 Ｌ和其转置的乘积，即：
Σ ＝ Ｌ × Ｌ Ｔ （１１）
采用 ＬＨＳ技术来生成标准正态随机变量的样本集合，表示为
（ｍ） Ｎ，Ｍ
｛ ξ ｎ ｝ （１２）
ｎ ＝ １ ，ｍ＝ １
（ｍ）
式中：ξ ｎ 为第 ｍ个随机变量的第 ｎ个样本；Ｎ为随机场网格点的数量；Ｍ为截断项数。
为了评估截断所引入的信息损失并确定 Ｍ的最优值，采用特征值累积贡献率的分析方法，其计算
公式如下

４
— １ １ ９ —