Page 88 - 水利学报2021年第52卷第4期

式中： c j，k 为尺度系数； ϕ j，k ( ) t 为尺度空间； d j，k 为小波系数； ψ j，k ( ) t 为小波空间；变量 j0 与 j

含义与式（11）相同，为尺度参数，表示小波空间和尺度空间对原信号的分辨率，在实际应用中 j0 可
理解为将信号 f ( ) t 累计应分解的层数， j 为当前分解层数； k 为时间平移参数，意义与式（11）相
同。为了区别尺度参数 j 和时间平移参数 k ，展开系数 c j，k 和 d j，k 一般写为 c [ ] k 、 d [ ] k ， c [ ] k 与 d [ ] k
j
j
j
j
可以通过 Mallat塔式分解算法得到，计算式为：
ìc [ ] k = å [n - 2k ]c [ ] n
l
ï ï j n ∈ Z j - 1
í （13）
ï ï d [ ] k = å h[n - 2k ]c [ ] n
j
î n ∈ Z j - 1
式中， l [ ] n 与 h[ ] n 分别为低通数字滤波器和高通数字滤波器。
该算法的原理如图 1 所示。
c [ ] k c [ ] k c [ ] k c [ ] k
j
0 1 2
d [ ] k d [ ] k d [ ] k
1 2 j
图 1 Mallat 塔式分解算法

式（13）与图 1 表明，通过 Mallat 算法，第 j 层的小波展开系数 c [ ] k 与 d [ ] k 都可以通过上一层展
j
j
开系数 c [ ] k 经过数字滤波器组 l [ ] n 和 h[ ] n 处理后得到，同理，可以从 c [ ] k 按此步骤进一步得到展
j - 1 j
开系数 c [ ] k 与 d [ ] k ，如此重复，最终得到一系列不同尺度下的小波展开系数。
j + 1 j + 1
在水电机组实际状态监测中，振动信号的采集一般满足奈奎斯特采样定理，因此采集的离散振
动信号 f ( ) n 可近似等于初始系数 c [ ] k ，即：
0
f ( ) n ≈ c [ ] k （14）
0
2.3.2 奇异值分解理论 奇异值分解是一种重要的矩阵分解，其定义为：设定矩阵 A( A ∈ C r m × n ) ，
r = rank( ) ，存在酉矩阵 U (U ∈ C m × m ) 与酉矩阵V ( V ∈ C n × n ) ，使得：
A
A = U éΣ O ù ú V H （15）
ê
ë O O û
式 中 ： Σ = diag (σ ，σ ，⋯，σ ) 为 对 角 阵; σ 、σ 、⋯、σ 为 矩 阵 A 的 奇 异 值 ， 且
1 2 r 1 2 r
σ ≥ σ ≥ ⋯ ≥ σ > 0 。
1 2 r
令：
S = [σ ，σ ，⋯，σ ] （16）
1 2 r
式中，向量 S 称为矩阵 A 的奇异值特征向量。

3 水电机组状态劣化评估方法

3.1 基于检测指数与支持向量机的机组时域劣化评估

3.1.1 时域特征敏感性分析 不同时域特征参数对于机组故障的敏感性不同，本文选取了信号分析
中具有代表性的 6 个时域特征量，它们是：均值、标准差、峭度、偏度、峰峰值、均方差，具体计算
方式见表 1。
表 1 中， x 为信号 x 第 i 个采样点值， N 为信号的长度。计算机组不同状态下振动信号时域特
i
征参数的均值与方差，代入式（4）得到各时域特征参数的检测指数。关于时域特征个数的选取，若仅
选一个最大值，容易忽略其他对区分机组状态有价值的时域特征；若选多个值时，又容易包含对机
组状态变化不敏感的时域特征。鉴于检测指数最大的前两个时域特征其检测指数值显著大于其他时

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