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水 利 学 报

２０２４年 １２月 ＳＨＵＩＬＩ ＸＵＥＢＡＯ 第 ５５卷 第 １２期

文章编号：０５５９ － ９３５０（２０２４）１２ － １４３９ － １０

模拟介质交界面处达西流速的跳跃多尺度有限元法

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谢一凡 １，２ ，苏振宁 １，２ ，南统超 １，３ ，吴吉春 ，谢春红 ，鲁春辉 １，６
（１．河海大学 水灾害防御全国重点实验室，江苏 南京 ２１００９８；２．河海大学 水利水电学院，江苏 南京 ２１００９８；
３．河海大学 长江保护与绿色发展研究院，江苏 南京 ２１００９８；４．南京大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 ２１００２３；
５．南京大学 数学系，江苏 南京 ２１００９３；６．河海大学 水文水资源学院，江苏 南京 ２１００９８）

摘要：提出一种用于模拟介质交界面处达西流速的跳跃多尺度有限元法（ＭＳＦＥＭ－ Ｊ），可解决有限元等惯用方法
模拟含交界面地下水问题时的两个缺点：一是现有方法需要精细剖分刻画介质非均质性来保证解的精度，会消耗
巨大的运算资源；二是现有数值方法无法保证介质交界面处的达西流速满足折射定律，即无法保证法向流速连
续、切向流速按渗透系数呈比例。ＭＳＦＥＭ－ Ｊ可通过多尺度有限元（ＭＳＦＥＭ）的基函数显著提升地下水水头和达西
流速两个过程的计算效率；然后基于折射定律构造 ＪＵＭＰ向量，迭代修正交界面弱侧节点的右端项并直至收敛，
从而令交界面处达西流速满足折射定律。数值试验表明，本文提出的 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ所模拟的达西流速在介质交界面
处符合折射定律，在研究区其他位置具有连续性。同时，该方法的计算精度高于精细剖分的惯用方法，且计算消
耗仅为同效方法的 ２％左右。
关键词：地下水数值模拟；多尺度有限元法；达西流速；介质交界面；ＪＵＭＰ向量
文献标识码：Ａ
中图分类号：Ｐ６４１．２ ｄｏｉ：１０．１３２４３?ｊ．ｃｎｋｉ．ｓｌｘｂ．２０２４０１７２
１ 研究背景

数值模拟是地下水研究的重要技术手段，也是分析地下水资源和环境问题的重要途径 ［１ － ２］ 。然而，
如何处理天然含水层的非均质性一直是地下水数值模拟的难点问题 ［３ － ４］ 。（１）地下水问题常具有时空
大尺度特征和非均质性，有限元等惯用方法模拟大尺度非均质地下水问题时必须精细剖分以保证网格
内的渗透系数可视为常数，需要庞大的计算消耗以保证精度，也常需要昂贵计算硬件的支持。（ ２）含水
层的非均质性常与其中的多介质、裂隙等特征有关，故其常被概化为多个由介质交界面分离而成的单
一介质区域 ［５ － ７］ 。在不同含水介质的交界面处，地下水应符合自然水流折射的物理规律 ［５，８ － ９］ ，即切向
达西流速按渗透系数呈比例，法向达西流速连续 ［５，８ － １０］ 。然而，有限元等惯用方法无法保证节点达西
流速连续性，即任意节点的流入 － 流出量相等 ［１０ － １１］ ，更无法精确模拟切向水流的折射 ［６，９］ 。本文提出
的跳跃多尺度有限元法（ＭＳＦＥＭ－ Ｊ）旨在解决上述两个问题，以具备更高的精度和效率。
针对非均 质 介 质 流 体 模 拟 的 高 计 算 量 问 题，侯 一 钊 等 ［１２］ 开 发 了 多 尺 度 有 限 元 法 （ＭＳＦＥＭ）。
ＭＳＦＥＭ具有粗、细尺度两层单元的剖分，可在粗网格单元上构造满足退化的椭圆方程的基函数汲取
细尺度信息，从而降低计算成本。同时，ＭＳＦＥＭ 还沿袭了有限元的理论简单、网格灵活、应用范围
广等优点，在土木结构健康监测、地面沉降等实际问题中都取得良好的效果 ［１３ － １４］ 。国内外学者进行了
大量的 ＭＳＦＥＭ改进和研究工作，开发了广义多尺度有限元法、最小化广义多尺度有限元法、自适应
多尺度有限元法等有效方法，说明 ＭＳＦＥＭ具有广阔的应用前景 ［１４ － １７］ 。ＭＳＦＥＭ－ Ｊ基于 ＭＳＦＥＭ的基函

收稿日期：２０２４ － ０３ － ２６；网络首发日期：２０２４ － １１ － ２０
网络首发地址：ｈｔｔｐｓ：??ｌｉｎｋ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ?ｕｒｌｉｄ?１１．１８８２．ＴＶ．２０２４１１１９．０８５７．００１
基金项目：国家重点研发计划项目（２０２１ＹＦＣ３２００５００）；国家自然科学基金面上项目（４２２７７１９０）
作者简介：谢一凡（ １９８７ － ），教授，主要从事地下水数值算法研究。Ｅ － ｍａｉｌ：ｙｆｘｉｅ＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
通信作者：鲁春辉（１９８１ － ），教授，主要从事海岸带地下水、地下水数值模拟研究。Ｅ － ｍａｉｌ：ｃｌｕ＠ｈｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
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