Page 28 - 2024年第55卷第12期

数和基本框架构造了地下水流和达西流速的算法，也继承了 ＭＳＦＥＭ高效率的优势。
无论是天然含水介质还是人工材料常包含多种介质 ［１８ － ２０］ ，在不同介质交界面处都难以计算达西流
速，包含了法向达西流速连续和切向达西流速按照渗透系数呈比例这两个 “矛盾” 的特征 ［５ － ８］ 。然
而，基于有限元的达西流速解法甚至无法保证节点达西流速的连续性 ［１］ ，导致通过截面流量的不守
恒，且精度较低 ［８ － １１］ 。因此，有学者通过改进有限元提出了两类连续达西流速算法，分别是以 Ｙｅｈ的
伽辽金有限元 ［１０ － １１］ 为代表的水头－ 流速 “先后” 求解方法，以及以混合有限元代表的水头 － 流速 “同
时” 迭代求解方法。其中，Ｙｅｈ的模型简单直接，故具有更广泛的应用范围 ［１０ － １１，２１］ 。然而，Ｙｅｈ的模
型和混合有限元均仅能保证达西流速的连续性，但无法有效处理介质界面处水流折射 ［５ － ８］ 。因此，有
学者对有限元法进行了进一步改进。Ｓｒｉｖａｓｔａｖａ等 ［２２］ 应用连续、不连续的两种策略来分别处理法向、
切向达西流速，但仅适用于交界面平行于坐标轴的情况。Ｚｈｏｕ等 ［５］ 提出应用 ＪＵＭＰ向量的迭代策略有
限元模型，能够处理任意形态的交界面处的水流折射，也继承了 Ｙｅｈ的模型 ［１０］ 简单直接、应用范围
广的特点 ［５，９］ 。然而，Ｚｈｏｕ的有限元模型 ［５］ 仍未挣脱有限元产生的高额计算消耗的限制，且其迭代过
程进一步加剧了此问题 ［６］ 。在前期工作中，我们将 ＭＳＦＥＭ 与区域分解法结合，通过分区求解来保证
交界面处达西流速的精度，也取得了较好的计算精度和效率 ［７］ 。然而，该方法需先对研究区进行人工
分区预处理，且需逐个求解子区域中的流速，步骤较繁琐。因此，本文将 ＭＳＦＥＭ ［１２］ 和 Ｚｈｏｕ的模型 ［５］
有机结合，不仅保留了 Ｚｈｏｕ的模型 ［５］ 的高适用性，并显著提升了计算效率，原理和步骤也较为简单、
直接。
本文提出的多尺度有限元（ＭＳＦＥＭ－ Ｊ）综合 ＭＳＦＥＭ ［１２］ 、Ｙｅｈ的伽辽金模型 ［１０］ 以及 Ｚｈｏｕ的有限元
模型 ［５］ 的优点。首先，该方法通过构造多尺度基函数以应用 ＭＳＦＥＭ 高效获得全局水头；其次，该方
法将多尺度基函数和 Ｙｅｈ的模型 ［１０］ 结合，可高效计算达西流速，并保证其连续性；最后，该方法基
于 Ｚｈｏｕ的模型 ［５］ 构造 ＪＵＭＰ向量，再对交界面处达西流速进行迭代修正，令其满足折射定律。因此，
ＭＳＦＥＭ－ Ｊ不仅能解决 Ｚｈｏｕ的模型 ［５］ 需要迭代求解的高计算量劣势，进一步提升总体计算效率。同
时，ＭＳＦＥＭ－ Ｊ还能保留 Ｚｈｏｕ的模型 ［５］ 可处理水平、倾斜等不同交界面的特性，保证其他位置达西流
速的连续性，具有更高的计算精度。

２ 基本原理

２．１ ＭＳＦＥＭ－ Ｊ的剖分 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ需要先对研究区进行多尺度剖分，从而应用
ＭＳＦＥＭ在多尺度网格上模拟水头，再联合 Ｙｅｈ的伽辽金模型 ［１０］ 基于水头解在粗尺
度网格上进行达西流速的计算，并通过 Ｚｈｏｕ的理论 ［５］ 构建 ＪＵＭＰ向量对交界面处
达西流速进行迭代修正。具体步骤为：（１）设二维研究区的坐标轴主方向为 ｘ、ｙ。
ＭＳＦＥＭ－ Ｊ先将研究区剖分为粗网格单元，其中粗网格边界需与交界面重合。（２）将
每一粗网格单元剖分为细网格单元（图 １），细网格数量可根据问题所需求解精度设 图 １ 粗网格上划分
定。如图 １，一个粗网格单元被剖分为 ４个细网格单元。 细网格示意图
２．２ 应用 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ模拟地下水水头
２．２．１ 构造基函数 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ可以通过在粗网格上构造基函数来抓住解的细尺度特征，从而实现在
粗网格尺度上进行水头和达西流速的计算，从而达到降低未知项数目、提升计算效率的目的。设示例
、 、 上简化的
粗网格单元为 Δ ｉｊｋ ，与顶点相关的多尺度基函数分别为 Ψ ｉ Ψ ｊ Ψ ｋ 。以 Ψ ｉ 为例，考虑到 Δ ｉｊｋ
椭圆方程：
（１）
－ !（Ｋ!Ψ ｉ ） ＝０ （ｘ，ｙ） ∈Δ ｉｊｋ
Ｋ ｘ ０
式中 Ｋ为渗透系数。设渗透系数的主方向与坐标轴方向一致，则 Ｋ ＝ ，Ｋ和 Ｋ分别为 ｘ、ｙ方
ｘ
ｙ
０ Ｋ ｙ
向的渗透系数。该方程边界条件可通过线性型、振荡型等基函数边界条件进行设定 ［１２］ 。

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