Page 30 - 2024年第55卷第12期

式中：Ｊ为水力梯度；ｓ为交界面处的切向向量；ｎ为交界面处的法向向量； ＋ 、 － 分别为交界面渗透
系数较强的一侧和较弱的一侧。
Ｔ
Ｔ
设交界面的法向单位向量为 ｎ ＝ ［ｎ，ｎ］，切向单位向量 ｓ ＝ ［ｎ，－ ｎ］，ｘ、ｙ方向的渗透系数
ｙ
ｘ
ｙ
ｘ
分别为 Ｋ、Ｋ，渗透系数方向与坐标轴方向一致，即 Ｋ ＝ Ｋ ＝ ０ 。ＪＵＭＰ向量 Ｖ 可被表示为 ［５］ ：
ｘ ｙ － － １ － ｘｙ － ｙｘ － ｊｕｍｐ
Ｋ
[
( ｎ＋ ｎ ) ( Ｋ Ｋ ＋) ( Ｋ ＋) ]
ｙ
ｙ
ｙ
＋
２ ＋
ｙ ２
２
ｎｎＶ
－
ｎＶ－ １ －
＋
－
Ｖ－ Ｖ － ｘ Ｋ － ｙ Ｋ Ｋ ｘ ｙ ｘ Ｋ ｙ ｘ ｙ ｙ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
Ｖ ｊｕｍｐ ＝ ＋ [ －] ＝ （１２）
－
Ｖ－ Ｖ Ｋ － － １ Ｋ Ｋ － Ｋ －
( ｎ＋ ｎ ) ( － － ＋) ( ＋) ]
[
ｙ ｙ ２ ｘ ２ ｘ ｘ ２ ＋ ｘ ＋
ｎｎＶ
ｎＶ－ １ －
ｘ ｙ
ｘ ｙ ｘ
－ ｘ
ｙ
Ｋ
ｙ Ｋ ｙ Ｋ ｙ Ｋ ｘ
２．３．３ 修正交界面达西流速 通过 ２．３．１节求出的达西流速在介质交界面上无法满足折射定律。根据
Ｚｈｏｕ的理论 ［５］ ，可在交界面上结合 Ｖ 迭代求解交界面达西流速。
ｊｕｍｐ
－
＋
如图 ２，节点 ｊ、ｋ为交界面 ＡＢ上的节点，Ｖ 、Ｖ 分别为交界面节
ｊ， λ ｊ， λ
点 ｊ渗透系数较高侧和渗透系数较低侧的 λ （ λ ＝ ｘ，ｙ）方向的流速。交界
面节点 ｋ的达西流速同理。由 Ｚｈｏｕ等 ２００１年的工作 ［５］ 可得，节点 ｊ、ｋ
处的达西流速符合式（１３）（１４）：
Ｖ ＋ Ｖ －
ｊ，ｘ
ｊ，ｘ
＝ ＋ Ｖ ｊ，ｊｕｍｐ （１３）
Ｖ ＋ Ｖ －
ｊ，ｙ ｊ，ｙ
Ｖ ＋ Ｖ － 图 ２ 介质交界面
ｋ，ｘ
ｋ，ｘ
＝ ＋ Ｖ ｋ，ｊｕｍｐ （１４）
Ｖ ＋ Ｖ － 折射定律示意图
ｋ，ｙ ｋ，ｙ
式中 Ｖ 和 Ｖ 由式（１２）求出，分别为节点 ｊ，ｋ的 Ｖ 矩阵。
ｊ，ｊｕｍｐ ｋ，ｊｕｍｐ ｊｕｍｐ
在 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ中，计算介质交界面上的两侧达西流速不需要额外构建网格，仅需通过右端项将弱
侧的达西流速逐步迭代调整为强侧达西流速，从而获得交界面处达西流速，即强侧达西流速。具体步
骤为：（ １）设 Δ ｉ ＋ ｊ ＋ ｋ ＋和 Δ ｉ － ｊ － ｋ －分别是交界面 ＡＢ强弱两侧的粗网格单元（见图 ２）。针对每个弱侧单元将
２．３．１节求出的交界面节点的 ｘ、ｙ方向的达西流速直接带入式（１２）中得到相应节点 Ｖ ｊｕｍｐ ，对于不属于
［５］
－
介质交界面的节点（如 ｉ），其 Ｖ ｊｕｍｐ 为 ０ 。（２）设弱侧单元的刚度矩阵为 Ａ －－ －，将 Ｖ ｊｕｍｐ 和 Ａ －－ －相
Δ ｉｊｋ
Δ ｉｊｋ
乘得到右端项 Ｇ －－ －。通过 Ｇ －－ －来调整弱侧单元的达西流速，即可使其逐步趋向于强侧达西流速。
Δ ｉｊｋ
Δ ｉｊｋ
此时，弱侧单元上的方程变为：
（ｌ）
Δ ｉｊｋ Δ ｉｊｋ Δ ｉｊｋ Δ ｉｊｋ
Ａ －－ －Ｖ －－ － ，ｈ ＝ Ｆ －－ －＋ Ｇ －－ － （１５）
（ ３）令 ｌ ＝ ｌ ＋ １（ｌ从 ０开始），联立每个单元的刚度矩阵，得到总刚度矩阵，求解得到研究区每个节
（ｌ）
（ｌ）
（ｌ）
点的达西流速 Ｖ 。在 ｘ、ｙ两个方向的达西流速求解完毕后，记求解后的速度为 Ｖ 、Ｖ 。（４）比较
λ ｘ ｙ
（ｌ）
（ｌ）
在上一次迭代求解得到的介质交界面处的达西流速 Ｖ 、Ｖ 和 Ｖ （ｌ － １ ） 、Ｖ （ｌ － １ ） 之间的相对误差 ε ，若收
ｙ
ｙ
ｘ
ｘ
＋
－ ５
＋
（ｌ）
（ｌ）
敛到一定范围（本文取 １０ ），则所获得的 Ｖ 和 Ｖ 即为强侧达西流速 Ｖ和 Ｖ，否则继续上述迭代步
ｙ
ｘ
ｘ
ｙ
＋
＋
骤（１）～（４），直至收敛。计算完成后，基于式（１２）和交界面的每个节点的 Ｖ和 Ｖ，即可得到渗透系
ｙ
ｘ
－ －
数较弱侧的达西流速 Ｖ和 Ｖ。由于 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ采用了多尺度基函数来计算水头和达西流速，计算水头
ｘ
ｙ
和修正交界面处达西流速所需的计算消耗大幅度减少。因此，即使 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ需要迭代，也能保持很
高的计算效率。
３ 数值试验
采用如下缩写：Ｚｈｏｕ － Ｆ为精细剖分的 Ｚｈｏｕ的有限元模型 ［５］ ；Ｙｅｈ － Ｆ为精细剖分的 Ｙｅｈ的有限元
模型 ［１０］ ；Ｖ为 ｘ方向上的达西流速；Ｖ为 ｙ方向上的达西流速。本文分别模拟含水平介质交界面和含
ｘ ｙ
水平、倾斜两个交界面两种条件下的地下水问题，并考虑了介质非均质性和各向异性。两个算例均使
用了 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ、Ｚｈｏｕ － Ｆ和 Ｙｅｈ － Ｆ三种方法来模拟水头和达西流速，并对它们的精度、计算消耗进行
４
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