Page 29 - 2024年第55卷第12期

根据 ＭＳＦＥＭ的基本理论 ［１２］ ，Ψ ｉ 在 Δ ｉｊｋ 内任意的细网格单元 Δ ａｂｃ 上可以通过下式表示：
（ｃ）Ｎ （２）
ａ
ｂ
Ψ ｉ （ｘ，ｙ） ＝ Ψ ｉ （ａ）Ｎ ＋ Ψ ｉ （ｂ）Ｎ ＋ Ψ ｉ ｃ
式中 Ｎ、Ｎ、Ｎ为与顶点 ａ、ｂ、ｃ相关的有限元线性基函数。
ｂ
ｃ
ａ
对式（１）进行伽辽金变换，再离散到每个细网格单元上，并将式（２）代入式（１），从而可以生成基
以及其他粗网格上的基函数。
函数构造矩阵，求解即可得到 Ψ ｉ 。通过类似过程，可以获得 Ψ ｊ 、Ψ ｋ
２．２．２ 模拟地下水水头 以地下水稳定流问题为例，考虑如下方程：
  Ｈ   Ｈ
－ （Ｋ ｘ ） － （Ｋ ｙ ） ＝Ｗ （ｘ，ｙ） ∈Ω （３）
 ｘ  ｘ  ｙ  ｙ
式中：Ｈ为水头；Ｗ为源汇项；Ω为研究区。
设研究区 Ω被剖分为 γ个粗网格单元，在式（３）两边乘以多尺度基函数 Ψ ，θ ＝ １ ，２，…，ｎ，ｎ
θ
上，
为研究区内未知节点个数。以 Ψ ｉ 为例，对式（３）进行伽辽金变换，并离散到每个粗网格单元 Δ ｉｊｋ
可得：
[
( ) ( ) ] ｄｘｄｙ ＝  ｄｘｄｙ （４）
 Ｈ Ψ ｉ
 Ｈ Ψ ｉ
Ｋ
＋ Ｋ
ｙ
Ｗ Ψ ｉ
ｘ
Δ ｉｊｋ  ｘ  ｘ  ｙ  ｙ Δ ｉｊｋ
根据 ＭＳＦＥＭ的基本理论 ［１２］ ，在粗网格单元 Δ ｉｊｋ 上，水头 Ｈ可由基函数和顶点水头值表示为：
（ｘ，ｙ） （５）
Ｈ（ｘ，ｙ） ＝ＨΨ ｉ （ｘ，ｙ） ＋ ＨΨ ｊ （ｘ，ｙ） ＋ ＨΨ ｋ
ｉ ｊ ｋ
式中 Ｈ、Ｈ、Ｈ分别为三角形单元 ｉ、ｊ、ｋ节点的水头值。
ｉ ｊ ｋ
将式（ ２）代入式（５），并通过其将式（４）离散到细网格上，可以得到式（４）的具体形式。然后，通
的公式，即可得到关于水头的单元刚度矩阵。联立所有粗网格上的单元刚
过类似方法获得关于 Ψ ｊ 、Ψ ｋ
度矩阵即可获 得总 刚度 矩阵，结 合 研 究 区 的 源 汇 项、边 界 条 件 即 可 获 得 关 于 水 头 的 方 程 组，通 过
Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解法可以得到研究区的水头场。
２．３ 应用 ＭＳＦＥＭ－ Ｊ模拟界面达西流速
２．３．１ 模拟达西流速 求得研究区的水头后，ＭＳＦＥＭ－ Ｊ可以结合多尺度基函数和 Ｙｅｈ的伽辽金有限
元模型 ［１０］ 进行第一次达西流速的计算。在研究区上考虑达西方程：
 Ｈ
Ｖ ＝－ Ｋ ，λ ＝ ｘ，ｙ （６）
λ λ
λ
式中 Ｖ为 λ （ λ ＝ ｘ，ｙ）方向的达西流速。
λ
达西流速模拟将沿用水头模拟部分的粗网格剖分，设研究区有 Ｎ个粗网格节点。在式（６）两端乘
ｌ
，ｃ ＝ １，２，…，Ｎ，积分可得
以多尺度基函数 Ψ ｃ ｌ
γ γ  Ｈ
∑ ｄｘｄｙ ＝－ ∑ λ Ψ ｃ ｄｘｄｙ （ｘ，ｙ） ∈Ω ，λ ＝ ｘ，ｙ （７）
Ｋ
ＶΨ ｃ
λ
１ １ λ
为例，Ｖ（ λ ＝ ｘ，ｙ）可以被多尺度基函数表示为：
以粗网格 Δ ｉｊｋ
λ
（ｘ，ｙ） （８）
λ λ ｉ ｉ λ ｊ ｊ λ ｋ ｋ
Ｖ（ｘ，ｙ） ＝Ｖ（ｘ，ｙ） Ψ ｉ （ｘ，ｙ） ＋ Ｖ（ｘ，ｙ） Ψ ｊ （ｘ，ｙ） ＋ Ｖ（ｘ，ｙ） Ψ ｋ
将式（８）带入式（７）的左端，将式（５）带入式（７）的右端，分别可得：
γ γ
[

Ｖ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ
∑ ｄｘｄｙ ＝ ∑  ｃ Ψ ｉ λ ｉ ｉ  Ｖ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ ＋ Ψ ｃ Ψ ｋ λ ｋ ｋ ] （９）
Ψ
ＶΨ ｃ
λ
ｊ
ｊ
Ｖ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＋ Ψ ｃ Ψ ｊ λ
１ １
γ γ
 Ｈ Ψ ｉ Ψ ｊ Ψ ｋ
－ Ｋ ｄｘｄｙ ＝－ ∑ ( ｄｘｄｙＨ ) （１０）
ｊ  λ
Ｋ Ψ ｃ
∑ λ Ψ ｃ  λ ｄｘｄｙＨ ＋ Ｋ Ψ ｃ ｄｘｄｙＨ ＋ Ｋ Ψ ｃ ｋ
ｉ  λ
１ λ １ λ λ λ
将式（２）带入式（９）（１０），即可以得到研究区上关于 Ｖ的方程组。
λ
通过 Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解法求解方程组即可得到研究区上达西流速分布，并可以保证节点达西流速的连
续性，此次为 ＭＳＦＥＭ － Ｊ的首次达西流速计算。在 ｘ、ｙ方向达西流速均求解完毕后，记为 Ｖ ｘ （０） 和 Ｖ ｙ （０） 。
２．３．２ 构造 ＪＵＭＰ向量 由流线折射定律知，交界面处的达西流速和水头符合下式
＋ －
Ｖ·ｎ ＝ Ｖ·ｎ
＋
Ｈ ＝ Ｈ － （１１）
－
＋
Ｊ·ｓ ＝ Ｊ·ｓ
４
— １ ４ １ —