Page 119 - 2022年第53卷第8期

法之一，也是 ＧＥＶ分布参数估计中最为常用的估计方法。Ｓｍｉｔｈ等 ［２３］ 和 Ｃｏｌｅｓ等 ［２４］ 指出 ｋ＞ － ０．５时，
ＭＬＭ具有一般的渐近性质；－ １＜ｋ＜ － ０．５，ＭＬＭ结果存在，但不具有渐近性质；ｋ＜ － １时，ＭＬＭ结果通
常不存在；ｋ＞０．５时，不存在二阶矩和高阶矩，此时极值分布有一个非常短的有界右尾，这在极值分
布的应用中极少出现。因此，极大似然理论的局限性在实际应用中影响不大。
矩法（ＭｅｔｈｏｄｏｆＭｏｍｅｎｔｓ，ＭＯＭ）的基本假设为样本矩等于相应的总体矩，对未知参数进行求解。
详细的求解过程参见文献［ ２５ － ２７］。

３ 充分样本长度确定方法

３．１ 充分样本长度界定及确定方法 在一定的正则条件下，ＭＬＭ 估计下的参数在样本长度趋于无穷
＾
时渐近服从正态分布 ［２８］ 。即样本长度足够大时，未知参数的最大似然估计量 θ 具有渐近正态性，此时
ＭＬＭ估计下的参 数 服 从 正 态 分 布，其 均 值 为 真 值 θ ，方 差 为 克 拉 美 罗 劳 下 界 ［２９］ （Ｃｒａｍｅｒ － Ｒａｏｌｏｗ
ｂｏｕｎｄ ，ＣＲＬＢ），ＭＬＭ估计渐近有效说明了在样本长度充分的情况下，ＭＬＭ 估计的参数应服从正态分
布。假设充分样本长度为 ｎ，当 ｎ＜ｎ，最大似然估计量无法通过正态性检验，其计算结果并非是有效
ａ
ａ
的；ｎ ≥ｎ时，最大似然估计量通过正态性检验，说明样本长度足够充分，估计是渐近有效的。基于
ａ
上述数理统计理论，本文给出充分样本长度 ｎ的概念界定：当 ｎ ≥ｎ时，最大似然估计量应服从正态
ａ ａ
分布。
以 ＧＥＶ分布为例，数值模拟可以假设总体规模足够大，足以进行充分样本长度的分析。然而，
在实际的工程设计中，选用的数据有限，必须论证选用资料长度估计结果的准确性和所需的充分样本
长度。基于 ｂｏｏｔｓｔｒａｐ的数学分析方法 ［３０］ 采用 Ｓｈａｐｉｒｏ － Ｗｉｌｋ方法 ［３１］ 检验设计值的正态性，计算充分样
本长度 ｎ，判断计算数据长度是否足以进行参数估计。原假设定义为：样本长度为 ｎ时，ＭＬＭ 设计
ａ
值服从正态分布。如果拒绝原假设，说明在给定显著性水平 α下，样本长度不足，需要采集更多的样
本，并再次应用上述方法进行检验，直到增加样本至无法拒绝原假设。详细步骤如下。
步骤一：给定参数 θ （ μ ，σ ，ｋ），生成 ｎ ＝ ６００ 服从 ＧＥＶ分布的随机样本 Ｙ ＝ （ｙ，ｙ，…，ｙ）。
１
ｎ
２
步骤二：根据 ｂｏｏｔｓｔｒａｐ法，从 Ｙ中抽取 Ｍ－ １组相同容量的样本，得到再生样本 Ｙ ＝ （ｙ ，ｙ ，
ｍ２
ｍ
ｍ１
…，ｙ ），其中 ｍ＝ ２，…，Ｍ。
ｍｎ
（１）
（１）
步骤三：给定初值 ｎ＝ １０ ，ｊ ＝ ｎ，…，ｎ，选取 Ｙ（ｍ＝ １ ，２，…，Ｍ）的前 ｊ项，记为 ｚ ，ｚ ＝
ｍｊ
０
ｍｊ
ｍ
０
（ｙ ，ｙ ，…，ｙ ）。
ｍ１ ｍ２ ｍｊ
（ｋ）
（１）
步骤四：根据 ｚ 样本进行再抽样，得到 Ｋ － １组 ｂｏｏｔｓｔｒａｐ样本 ｚ （ｋ ＝ ２，…，Ｋ）。
ｍｊ ｍｊ
（ｋ）
步骤五：根据步骤二至步骤四，获得 Ｍ× Ｋ组样本长度均为 ｊ的样本 ｚ ，拟合 ＧＥＶ分布，采用
ｍｊ
（ｋ）
ＭＬＭ估计参数，得到给定频率 Ｐ下设计值 ｘ ，ｍ＝ １，２，…，Ｍ；ｊ ＝ ｎ，…，ｎ；ｋ ＝ １，２，…，Ｋ。
ｍｊ ０
（ｋ）
步骤六：对 ｘ （ｋ ＝ １ ，…，Ｋ）进行 Ｓｈａｐｉｒｏ － Ｗｉｌｋ正态检验，得到统计值 ｐ ，ｍ＝ １ ，２，…，Ｍ，
ｍｊ
ｍｊ
ｊ ＝ ｎ，…，ｎ，ｔ为 Ｔ分布下自由度为 Ｍ－ １的临界值，计算 ９５％的上下置信区间。
０
１ Ｍ ２ １ Ｍ ２
ｊ ∑
珋 ＝
ｐ）
ｐ ｐ ，ｓ＝ ∑ （ｐ － 珋 （５）
ｊ
ｍｊ
ｍｊ
ｊ
Ｍ ｍ＝１ Ｍ－ １ ｍ＝１
[ ｓ ｓ ]
ｊ
ｊ
α∈ 珋 － ｔ ， 珋 ＋ ｔ （６）
ｐ
ｐ
ｊ
ｊ
槡 Ｍ 槡 Ｍ
ｓ ｓ
ｊ
ｊ
步骤七：设存在 ｎ，α ＝ ０．０５ ，任何 ｊ＞ｎ的样本均满足 珋 － ｔ ＞ α ， 珋 － ｔ 为置信区间的下限，
ｐ
ｐ
ａ ａ ｊ ｊ
槡 Ｍ 槡 Ｍ
则 ｎ为 ９５％置信水平下得到指定频率设计值所需的充分样本长度。
ａ
３．２ 样本长度与频率、参数及估计方法的关系 曲线拟合法是基于极限近似理论，用解析表达式来逼
近离散数据 ［３２］ 。选取 ９５％的相对置信区间（Ｒｅｌａｔｉｖｅｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅｉｎｔｅｒｖａｌ，ＲＣＩ） ［１０］ ，平均相对误差（ｔｈｅ
ｍｅａｎｒｅｌａｔｉｖｅｅｒｒｏｒ，ＲＭＡＥ） ［３３］ 两种不确定性分析指标。在水文频率的不确定性分析中，通常根据置信
０
— １ ０ ６ —