Page 120 - 2022年第53卷第8期

区间来量化设计值的不确定性。置信区间的宽度随样本长度的增加而减小，但随重现期的增加而增
大。相比较而言，ＲＣＩ使不同重现期下无法直接对比的置信区间变为可比。ＲＭＡＥ避免误差相互抵消，
可以反映实际误差的大小，也具有可比性。由某一样本长度下的多组设计值，计算得到 ＲＭＡＥ、ＲＣＩ，
随样本长度不断增大，根据其变化趋势，拟合数据点绘制出曲线，确定出最佳拟合方程。具体方法描
述如下。
步骤一：给定参数 θ （ μ ，σ ，ｋ），生成 Ｋ＝ ２０００组服从 ＧＥＶ分布，样本长度为 ｎ（ｎ ＝ ３，４，…，
５００）的随机样本。
ｋ
步骤二：采用矩法（ＭＯＭ）估计 Ｋ组随机样本的参数，并计算相应频率 Ｐ下设计值 ｘ（ｋ ＝ １ ，２…，
ｎ
２０００）。
ｋ
步骤三：采用百分位数法，由 ｘ（ｋ ＝ １，２…，２０００）计算 ９５％的 ＲＣＩ，Ｕ （Ｐ；ｎ）表示样本长度为
ｎ Ｄ
ｎ、频率 Ｐ下的设计值，［Ｕ ，Ｕ ］表示 Ｕ 取 ９５％的置信区间，以 ＲＣＩ作为评价准则，定义如下式
Ｄ
Ｄ，Ｌ
Ｄ，Ｕ
所示：
Ｕ － Ｕ
ＲＣＩ ＝ Ｄ，Ｕ Ｄ，Ｌ （７）
Ｕ
Ｄ
用 ＲＭＡＥ对不同样本长度下设计值误差进行定量评价，定义如下式所示：
Ｋ
∑ ｘ－ ｘ
ｉ
ｉ ＝１
ＲＭＡＥ ＝ × １００％ （８）
Ｋ
ｘ
式中：ｘ为样本长度 ｎ、频率 Ｐ下的估计设计值；ｘ为 ＧＥＶ分布下的真实设计值。
ｉ
２
步骤四：随样本长度 ｎ不断增大，根据各指标的变化趋势，拟合数据点绘制出曲线，由 Ｒ评价其
拟合效果，确定出最佳拟合方程。
步骤五：将 ３．１中计算出的 ｎ代入拟合方程，得到 ＭＬＭ 估计下拟合曲线对应的 ＲＣＩ、ＲＭＡＥ值。
ａ
给定 ｋ值，根据离均系数计算公式 ［３４］ 建立 Ｐ～ Ф Ｐ 的曲线关系，与 ＲＣＩ、ＲＭＡＥ值的变化趋势来验证
文中方法的正确性。通过分析 ＭＬＭ、ＭＯＭ估计下 ＲＣＩ、ＲＭＡＥ与样本长度的拟合曲线的交叉点 ｎ，进
ｃ
一步分析样本长度与参数估计方法间的关系。

４ 数值模拟结果

本节基于 ＧＥＶ分布，应用上述方法进行数值模拟实验。根据最大似然估计量的渐近正态性，采
用正态检验方法确定频率计算所需的充分样本长度 ｎ，并验 证其 合理 性。在 此 基础 上，选用 ＲＣＩ、
ａ
ＲＭＡＥ为误差指标，应用曲线拟合法建立拟合关系表达式，定量分析不同参数、频率、参数估计方法
与样本长度间的关系，根据充分样本长度 ｎ的规律性进一步论证方法的正确性。最后，分析 ＭＬＭ、
ａ
ＭＯＭ两种参数估计方法在同一误差标准下的优劣。
４．１ 计算充分样本长度 根据 ＧＥＶ分布设计值的计算公式，设计值的大小与位置参数 μ 、尺度参数 σ
成正比，但随形状参数 ｋ的变化呈 ｅ指数增加，不同频率下设计值对 ｋ的变化更为敏感，ｋ值对拟合
结果有较大影响。其次，ＧＥＶ分布根据形状参数 ｋ值的不同，分为极值Ⅰ型、极值Ⅱ型、极值Ⅲ型，
三种分布的曲线形状也大不相同。因此，本文根据不同 ｋ值和频率，计算所需的充分样本长度。在水
文应用中，ｋ的取值范围一般为［ － ０．３ ，０．３］ ［３５ － ３６］ 。本文给定 ＧＥＶ分布参数 θ ＝ （ μ ，σ ，ｋ），μ取 １００，
σ取 １０，ｋ的取值范围为［ － ０．３，０．３］，步长为 ０．１。
选取频率为 ０．５％，不同 ｋ值下的模拟结果进行分析。随样本长度变化 Ｓｈａｐｉｒｏ － Ｗｉｌｋ检验的平均 α
值及其 ９５％的上下置信区间如图 １所示。从图 １可以看出，整体呈现上升趋势，水平线 α ＝ ０．０５ ，对
应垂线 ｎ为充分样本长度：样本长度小于 ｎ时，下置信区间位于水平线之下，或上下波动，样本长度
ａ ａ
大于 ｎ时，下置信区间均位于水平线之上，说明在 ｎ＞ｎ时，最大似然估计量服从正态分布，估计结果
ａ
ａ
是渐近有效的，证明样本长度充分，那么 ｎ的样本长度就足以估计该频率下的设计值。
ａ
— １ ０ ７ —
０