Page 92 - 2022年第53卷第8期

２
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Ｎ ＝ １８Ｎ － ４８ｉＮ ＋ ２４ｉ － ２４Ｎ ＋ ２４ｉ ＋ ８ （５）
ｉ
式中 ｉ ＝ ０ ，１，２，…，（Ｎ?２ － １）。
微单元发生破坏随时间发生的分布函数为 Ｆ（ｔ），则第 ｉ层单元破坏为 Ｆ（ｔ）。ｔ时刻第 ｉ层单元破
ｉ
的数学期望为式（６）和式（７）。
坏 Ｎ块这一事件 Φ ｉ
ｉ
） ＝Ｎ·Ｆ（ｔ） （６）
Ｅ（ Φ ｉ ｉ ｉ
－ １ α
Ｆ（ｔ） ＝１ － ｅｘｐ｛ － ［ λ ·Ｈ（ｔ － ｋ· λ ｉ ）］｝ （７）
ｉ
０
为式（８）。
假设尺度因子 λ沿截面呈非线性变化，其第 ｉ层的尺度因子 λ ｉ
＝ ＋
λ ｉ λ ０ ν ·（ｉ ＋ ０．５） － １ （８）
为待定的均匀尺度参数；ν 为待定的梯度因子；ｉ ＝ ０，１，２，…，（Ｎ?２ － １）。
式中：λ ０
则时刻 ｔ全部单元破坏的数量为式（９）。
Ｎ Ｎ
－ １ － １
２ ２
Ｅ（ ω ） ＝ ∑ Ｅ（ Φ ｉ ∑ Ｎ·Ｆ ｉ （９）
） ＝
ｉ
ｉ ＝０ ｉ ＝０
代入式（４）中可得整个模型的冻融损伤因子 Ｄ如下：
Ｄ＝ Ｅ（ ω ）?Ｎ ３
Ｎ
－ １ （ １０）
２
２
２
－ ３
α
＝ ０．２５·Ｎ · ∑ ［１８Ｎ － ４８ ｉＮ ＋ ２４ ｉ － ２４ Ｎ ＋ ２４ ｉ ＋ ８ ］·｛１ － ｅｘｐ｛ － ［ λ ｉ ０ － １ ）］｝｝
·Ｈ（ｔ － ｋ· λ ｉ
ｉ ＝０
为第 ｉ层的尺度因子。
式中 λ ｉ
２．３ 模型参数估计 以上诸式中的待定参数 λ ０ α 、ν 、ｋ 采用最小二乘法确定，模型模拟结果与试
、
０
验实测值得差值函数 ，见式（１１）。
Δ
ｍ
∑ ，α ，ν ，ｋ） － ｙ ‖ ２ （１１）
＝ ｍｉｎ ‖ｆ（ λ ０ ０ ｉ
Δ
ｉ ＝１
式中 ｙ为混凝土损伤度的实测值。
ｉ
对于式（ １０）， Δ 是关于 λ ０ 、α 、ν 、ｋ 的非线性函数，因此这里采用梯度下降法，具体如式（１２）
０
到式（ １５），采用 Ｍａｔｌａｂ编程方程式得到解。
＝ － ａ Δ （１２）
λ ｉ ＋ １ λ ｉ １ λ
＝ － ａ Δ （１３）
α ｉ ＋ １ α ｉ ２ α
＝ － ａ Δ （１４）
ν ｉ ＋ １ ν ｉ ３ ν
ｋ ＝ ｋ － ａ ４ ｋ （１５）
ｉ
ｉ ＋ １
Δ
、
式中： Δ 、 Δ 、 Δ 和 Δ 分别为 λ ０ 、α 、ν 和 ｋ的梯度向量；ａ、ａ、ａ和 ａ分别为 λ ０ α 、ν 和 ｋ的梯
λ α ｖ ｋ ０ １ ２ ３ ４ ０
度下降步长。
３ 模型的应用
３．１ 冻融作用下混凝土损伤度定义 处于寒冷与严寒地区的混凝土结构，混凝土内部水分会伴随着环
境温度的变化不断处于冻结－ 融化的过程中，经过多次冻融循环后，混凝土某些物理力学性能会发生
明显的变化 ［１２ － １３］ 。这些物理力学特性参数变化也就成为衡量混凝土冻融损伤程度的尺度，常用的物理
力学特征参数包括质量损失率、强度损失率、相对动弹性模量等。混凝土抗冻性的失效判断常用指标
多采用相对动弹性模量和质量损失率，本文选择相对动弹性模量用于损伤度的定义。由损伤力学理论
可知，冻融损伤下混凝土的损伤度可定义为：
Ｄ ＝ １ － Ｐ （１６）
ｎ
式中 Ｐ为混凝土 ｎ次冻融循环后的相对动弹性模量。
ｎ
３．２ 试验结果及讨论 为了验证模型是否能准确反映出标准抗冻试块的冻融过程，按照每立方混凝土
中水泥 ∶水 ∶砂 ∶卵石（５～２０ｍｍ）∶卵石（２０～４０ｍｍ）∶减水剂 ＝ ４０５∶１５８∶５８０∶４９２∶７３９∶４．０的配合比制
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