Page 71 - 2023年第54卷第6期

ｎ
∑ （ ＾ｙ － 珋 ２
ｙ）
ｉ
２
Ｒ ＝ ｉ ＝１ （８）
ｎ
∑ （ｙ － 珋 ２
ｙ）
ｉ
ｉ ＝１
ｙ为参考模型输出值的均值；ｎ为测试样本点数量
式中：ｙ为参考模型输出值； ＾ｙ 为替代模型输出值； 珋
ｉ ｉ
２
（在非稳定模型中包括所有输出时段）。根据以上定义，ｅ 越小表明替代模型精度越高；Ｒ越接近 １
ＮＲＭＳ
则替代模型精度越高；而 ｅ可用于分析替代模型在不同样本点上的偏差，可体现误差的时空特征。下
文通过算例详细分析该方法的有效性、精度和计算效率。
３ 算例分析
本次研究采用两个解析案例与一个数值模拟案例，对前述的海岛地下水替代模型进行测试和验
证。其中，解析案例侧重于利用参考模型解析解的精确性，高标准地验证该替代模型技术的精度并分
析替代模型误差；数值模拟案例在验证替代模型精度的同时对其计算效率进行评价。
［８］
３．１ 案例 １：人工改造的增储海岛含水层 海岛（特别是珊瑚海岛）的渗透性通常很高（可达 １０００ｍ?ｄ） 。
马婧等 ［２］ 提出一种通过在海岛周边添加一圈低渗透层以增加海岛淡水储量的工程方法，增储后海岛含
水层淡水透镜体完全漂浮于海水之上时可用图 ２（ａ）近似表示。Ｌｕ等 ［２４］ 将其控制方程写成式（９），并
将海水看作恒定水头边界，给出了稳定状态水流场解析解：
２ ２
２)
( ｄｈ
Ｋ（１ ＋ ε ） ｄｘ ＋ ２ ｗ ＝ ０ （９）
式中：ｗ为恒定入渗补给强度，在中央高渗透区渗透系数 Ｋ ＝ Ｋ，在外侧低渗透区 Ｋ ＝ Ｋ；取海岛含水
ｂ
０
层中点处 ｘ ＝ ０，海平面高度处 ｚ ＝ ０，海岛外边界处 ｈ ＝ ０。该解析解将水头 ｈ表示如下：
２
ｗ Ｄ － ｘ ｄ＋ ２ｄＤ
(
[ １ ＋ ε Ｋ ２ ＋ ２ Ｋ )] １?２ ， Ｘ ≤Ｄ
ｈ ＝ ０ ２ ２ ｂ １?２ （１０）
(
[ ｗ （Ｄ ＋ ｄ）－ ｘ )] ，Ｄ＜ Ｘ ＜Ｄ ＋ ｄ
Ｋ
１ ＋ ε
ｂ
为用该解析解来检验随机行走替代模型的有效性和精度，本研究接受 Ｌｕ等 ［２４］ 的假设，并参照其
设定取 ε ＝ ４０，含水层高渗区半宽 Ｄ ＝ ７０ｍ、渗透系数 Ｋ ＝ １０ｍ?ｄ，低渗透单元厚度 ｄ ＝ ３０ｍ、渗透系
０
数 Ｋ ＝ １ｍ?ｄ ，恒定入渗补给强度 ｗ ＝ ０．０１ｍ?ｄ 。代入上式计算得图 ２（ｂ）红色实线所示水头分布：在海
ｂ
岛边缘为 ０，从海岛边缘向内侧逐渐升高，在海岛中心达到最高水头值 ｈ ＝ １．１６７ｍ。与此同时，采用
５
５
前述随机行走方法构建该模型的替代模型，取行走元数 Ｎ ＝ １０，即每个计算点 ｘ有 １０ 个｛（Ｈ ，ｗ），
ｉ Ｂ
ｈ｝样本用训练式（４）中的权重，（Ｈ ，ｗ）为一类边界水头值 Ｈ 与补给强度 ｗ的随机采样，ｈ 为对应
Ｂ
ｉ
ｉ
Ｂ
的解。水平离散步长 Δ ｘ ＝ １ｍ ，计算得到的水头值及其相对于解析解的相对误差 ｅ示于图 ２（ｂ）。对比
图 ２（ｂ）中替代模型（圆点）与参照解析解（红色实线），可见替代模型结果与解析解高度一致，相对误
差 ｅ在－ ５‰ ～６‰之间变化（右侧纵轴所示黑色虚线）；偏差较大的值均位于低渗区，在高渗区 ｅ则维持
２
在－ １．５‰ ～１‰之间。此外，替代模型解相对于解析解的确定系数 Ｒ ≈ ０．９９９９６；标准化均方根误差
－ ３
ｅ ＝ １．９８ × １０ ，均表明替代模型计算结果与参照的解析解高度一致，具有很高精度。式（９）也可用
ＮＲＭＳ
经典的 ＭＯＤＦＬＯＷ 软件求解，取相同的离散步长 Δ ｘ ＝ １ｍ ，所得 ＭＯＤＦＬＯＷ 结果与解析解式（１０）比较，
－ ３
相对误差 ｅ在－ ７‰ ～１‰之间，标准化均方根误差 ｅ ＝ ２６８ × １０ ，与替代模型误差相当。ＭＯＤＦＬＯＷ 计
ＮＲＭＳ
算误差很大程度上是由离散随机误差导致的，在数值模拟中难以避免。因此，在存在解析解的情况下
本文优先使用解析解而不是数值解作为精度参照。计算效率方面，该替代模型（即训练后的式（ ４））的
－ ３ － ３
计算耗时（ ２．２７ × １０ ｓ）与参照解析解的耗时（１．２８ × １０ ｓ）相当，但之前需要花费一定时间（本案例中
为 ２３３ｓ）对替代模型进行训练以确定式（４）中的权重。
３．２ 案例 ２：海岛分层越流含水层 前例中仅考虑海岛含水层的稳定状态，而忽略了潮汐等因素导致
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