Page 75 - 2025年第56卷第7期

敛的伴随方程变量就是拉格朗日乘子。针对泵站前池内流态优化问题，可简写成如下的数学形式：
( )
min I = I α ，U  （4）


式中：I 为目标函数；α  为设计参数；U 为流场变量。
将泵站前池内断面流速均匀度作为优化目标函数，通过伴随算法求解优化该变量。在这一过程
中，需要定义流速均匀度的数学表达式，与目标函数关联，进而通过伴随方法计算设计参数对流速均
匀度的灵敏度，最终进行优化设计 ［24］ 。流速均匀度 ϕ 的表达式为：
∑( - ) 2
m
1 u ai - u a
ϕ = 1 - - i = 1 M （5）
u a
-
式中：ϕ 为流速均匀度，值越接近 1，表示流速越均匀；u a 为水泵进口断面平均轴向速度；u ai 为进口
断面第 i 个计算单元轴向速度；M 为断面计算单元个数。
优化目标是通过调整导流墩的设计参数 α  使流速均匀度 ϕ 最大化。为了便于计算，可以将优化问
题转化为最小化不均匀性，即：
( )
min I α ，U = 1 - ϕ （6）


在优化过程中，流动控制方程是 Navier-Stokes 方程及其附属条件，用于描述流体在前池中的运
( )
动。其离散形式可以表示为残差 R α ，U = 0，结合后如下式：


( ) ∂u  )
R α ，U = ρ ( ∂t + ( u ∙∇) u  - ∇p + μ∇ u  = 0 （7）

2


式中：ρ 为流体密度；u 为流速矢量；p 为压力；μ 为涡黏系数。
为了计算目标函数 I 对设计参数 α  的敏感度，首先引入伴随变量 λ，伴随方程的目的是消去流场变
量对设计参数的直接导数。敏感度的表达式为：
dI ∂I ∂I dU 
= + （8）
dα  ∂α  ∂U  dα 
( )

通过对控制方程 R α ，U = 0 求全导数，得到：

dR  ∂R  ∂R dU 

= + = 0 （9）
dα  ∂α  ∂U  dα 
dα  ( ∂U) -1 ∂R （10）
从而得到流场变量 U 对设计参数 α  的导数：

∂R
dU



= -

将式（10）代入目标函数灵敏度表达式（8），可得： ∂α 
dI ∂I ∂R

 T
= - λ （11）
dα  ∂α  ∂α 
其中 λ 为伴随变量，满足伴随方程：
( ∂U) ( ∂U) T （12）
T
∂R
∂I


λ = -


伴随方程描述了伴随变量 λ 与流场变量 U 之间的关系，通过求解该方程，可以获得目标函数对设


计参数的敏感度 ［25］ 。
2.4 网格划分与边界条件 在该正向泵站前池中，数值模拟计算域如图 4 所示，采用非结构化网格划
分，以适应前池内复杂的几何形态。其中，对进口、出口、前池底部与边壁、以及导流墩部位采取网
格加密措施。此外，在网格划分时，为了确保计算精度与效率的平衡，针对不同分辨率的网格进行了
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