Page 49 - 水利学报2021年第52卷第2期

水位过程作为样本，见公式（16）；对于缺少实际调度数据的电站，以长系列径流为输入，以式（1）为
目标函数，采用经典的 DP 进行优化计算获得发电调度过程，其样本表达式与下式相同：
æ z 1，1 ⋯ z 1，T ö  T  T  T


æ
A = ç ç ⋮ ⋱ ⋮ ÷ ÷ = çz ， z ，⋯， z ö ÷ （16）
i，sample ç ç z ⋯ z ÷ ÷ è 1 2 T ø
è c，1 c，T ø
式中： A 为电站 i 的调度过程样本集集合； z 为第 c 种来水情况下第 j 个时段的时段末库水
i，sample c，j
位；T 为电站 i 调度过程中包含的时段数。
在后续章节计算具体算例过程中，由于无足够长系列的水库实际生产过程，因此对单库采用 DP
计算其历史各年份来水情况下的调度过程作为调度样本以模拟单库的多年实际调度过程，对多库则采
用 POA 计算其历史各年份来水情况下的调度过程作为调度样本以模拟多库梯级的多年实际调度过程。
3.4 主成分分析方法计算样本特征项 主成分分析（PCA）是一种经典的数据分析方法，原理是将数
据的 n 维特征映像到 k 维上，在这一过程中将得到一组新的正交向量（映射基底），其对应的特征值与
向量本身即为构建 KL 展开式所需的特征函数。本文主要应用此方法于从水电站的长系列调度过程样
本集中提取水位特征值和特征向量。
根据 PCA 方法原理，需要分别求解矩阵各电站的协方差矩阵 Cov( A ) ，见下式：
i，sample
T
T
æ Cov( z ，z T ) ⋯ Cov( z ，z T ) ö
ç ç 1 1 1 T ÷ ÷
Cov ( A ) = ç ç ⋮ ⋱ ⋮ ÷ ÷ （17）
i，sample
ç ç Cov( z ，z T ) ⋯ Cov( z ，z T ) ÷ ÷
T
T
è T 1 T T ø
按照式（17），可以得到 I 个协方差矩阵 Cov( A ) ，……， Cov( A ) 。对每个矩阵分别计
1，sample I，sample
算特征值与特征向量，得到特征值系列 {λ ，λ ，⋯，λ ，λ ，⋯，λ } ，每个特征值对应的特征
11 12 1T 21 IT
向量 ψ 应满足下式：
T
k
)
( ( A i，sample ) - λE ψ = 0 （18）
Cov
T
k
由此计算出各特征值对应的特征向量。
考虑到每个协方差矩阵均会计算得到 T 个特征值与其对应的特征向量，所以需要优选能够代表水
电站调度过程的主要特征值。本文引入累积贡献率指标，将同一矩阵求出的特征值按从大到小排序
{λ ，λ ，⋯，λ } ，累积贡献率求解公式如下：
1 2 n
d
å λ n
K = n = 1 （19）
d
N
å λ n
n = 1
式中： K 为 λ 的累积贡献率；N 为特征值总数；d 为计算累积贡献率的特征值序号。
d
d
在 PCA 方法中，累计贡献率又称累计方差贡献率。在实际计算中，特征值从大到小排序，然后
从前到后求和即可得到累积方差。所以 K 的大小表示了 λ ，λ ，…，λ 携带原数据信息的比例。
d
d
1
2
实例计算分析中，根据保留不同主成分所建立模型的精度，综合考虑保留主成分的累计贡献率的
阈值。
3.5 利用样本特征项建立各水电站 KL 展开式 利用 3.2 节给出的 KL 展开描述方法，可以确定任一
水电站 i 在 t 时段末的库水位，见下式：
- M
Z ( ) t = Z ( ) t + å λ ψ ( ) t ξ （20）
i i i，k i，k i，k
k = 1
-
式中： Z ( ) t 为调度过程样本集中 t 时段水电站 i 的库水位平均值； λ i，k 、ψ i，k ( ) t 分别为水电站 i 第 k
i
个特征项对应的特征值与 t 时段的特征函数值。
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