Page 50 - 水利学报2021年第52卷第2期

按照上式建立任一水电站 i 的时段末库水位描述方程，并对每个特征项对应的系数 ξ i，k 进行优化
求解，主要包括以下两部分。
（1）确 定 特 征 项 系 数 的 概 率 分 布 与 初 始 值 。 在 式（20）中 ， M 个 特 征 值 对 应 系 数 为
ξ i，k ，1 ≤ k ≤ M 。由于各 ξ i，k 服从的概率分布均符合均值为 0、方差为 1，所以如何从各类可选连续
分布中优选适合的分布形式并确定随机系数的可行域和初始值是非常重要的。通过分析电站历史调
度过程样本集，可以有效预判 KL 展开式随机系数的概率分布，使后续建模更符合工程实际。
本文引入 Kullback-Leibler 散度这一概念来衡量 KL 特征项对应随机系数的实际概率分布与优化计
算时假定的概率分布之间的信息误差。这一概念起源于概率论与信息论。Kullback-Leibler 散度与相
对熵、信息散度和分辨信息密切相关，表示两个概率分布 p( ) x 和 q ( ) x 之间差异的非对称度量。具
体来说， p( ) x 与 q ( ) x 的 Kullback-Leibler 散度，即 D ( p( ) x ，q ( ) x ) ，是对 q ( ) x 用于估计 p( ) x 时
KL
所丢失的信息的度量。设 p( ) x 和 q ( ) x 是离散随机变量 x 的两个概率分布，对总体 X 中的任意点，
p( ) x > 0 ， q ( ) x > 0 。则 D ( p( ) x ，q ( ) x ) 可按照下式进行计算：
KL
p( ) x
D ( p( ) x ，q ( ) x ) = å p( ) x ln （21）
KL
x ∈ X q ( ) x
初次搜索路径 可选路径 确定变更路径

系数 系数
初值 末值 系数值离散点
系数取值
初次搜索取值

迭代计算过程

1 2 3 k … M-1 M
阶段
图 2 特征项系数迭代计算原理
对任一参与计算电站而言，在确定特征值与特征向量后，可按照下述方法确定 KL 建模随机系数
的概率分布：①步骤 1。按照 KL 展开式（20）以及历年实际调度过程，通过求解线性方程组确定不同
年份来水情况下的 {ξ ，ξ ，…，ξ } ，其中 M=T，即按照式（18）得到的特征项构建式（20）；②
i，1 i，2 i，T
步骤 2。按照电站的主要特征项，选择对应的随机系数值集合 S = {ξ i，1 ，ξ i，2 ，…，ξ i，M } ，其中 y 为
y
历史调度过程样本中包含的年份序号；③步骤 3。假定电站共有 Y 个年份样本，则主要特征项随机系
数样本集为 S= {S ，S ，⋯，S } ；④步骤 4。根据样本 S 得到 KL 建模中各主要特征项对应随机系数
1 2 Y
ξ i，k 的概率分布 p( ) x ；⑤步骤 5。利用式（21）计算预先设定可采用分布 q ( ) x 与 p( ) x 之间的 Kull⁃
back-Leibler 散度 D ( p( ) x ，q ( ) x ) ；⑥步骤 6。选定 D 最小值对应的 q ( ) x 概率分布描述电站 KL 建
KL KL
模中的随机系数，确定随机系数的可行域以及初始值。
（2）迭代搜索特征项系数。迭代搜索方式如图 2 所示。以随机系数初始值为基础，采用两阶段迭
代优化其取值。对于任一特征项系数 ξ ，固定其余特征项系数，以步长 Δs 生成可行域范围内的所
i，k
*
有系数状态值，按照式（20）计算 Z ( ) t ，并由式（1）计算目标函数值，选择目标值最大的 ξ i，k 作为特
i
征项 ξ 面临阶段的最优值；采用同样思路逐次对其余阶段的特征项系数进行迭代寻优，直至满足
i，k
给定的收敛条件。
3.6 耦合 KL 理论和调度特征的水电调度求解方法流程 流程如下：（1）基于水电站实际运行数据，
采用 3.3 节方法构建发电调度过程样本集；（2）提取每个电站的调度特征值与特征向量。对得到的样
本集进行主成分分析，获得特征值 λ 与对应的特征向量 (ψ ( ) 1 ，ψ ( ) 2 ，⋯，ψ ( ) ) ，具体方法见 3.4
T
T
k
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