Page 97 - 水利学报2021年第52卷第2期

法，应当另寻简化途径。
考虑地基梁在每个截面有 4 个基本量（即 4 个参数）：挠度ω、转角θ、弯矩 M 和剪力 Q，梁初始截
面 A 与坐标原点 O 重合，则初始截面 A 端的 4 个参数ω 、θ 、M 、Q 可称为地基梁的初参数。将初参
0 0 0 0
数代入式（14）并考虑对应挠度ω、转角θ、弯矩 M 和剪力 Q 间的微分关系方程，得：
ìω ( ) 0 = c + c = ω
j
ï ï 1 3 0
ïθ ( ) 0 = β (c + c - c + c ) = θ
ï j 1 2 3 4 0
í （16）
ï M ( ) 0 = -2EIβ (c - c ) = M
2
j
ï
ï ï 3 2 4 0
î Q ( ) 0 = -2EIβ (-c + c + c + c 4 ) = Q 0
j
1
3
2
联立求解式（16）四个方程，得：
ì ω θ Q
ï c = 0 + 0 + 0
ï 1 2 4β 8EIβ 3
ï
ï θ M Q
ï
ïc = 0 - 0 - 0
ï 2 4β 4EIβ 2 8EIβ 3
ï
í （17）
ï c = ω 0 - θ 0 - Q 0
ï 2 4β 8EIβ 3
ï 3
ï
ï
ï c = θ 0 + M 0 - Q 0
ï
ï 4 4β 4EIβ 2 8EIβ 3
î
由转化关系式（17）解出的 c —c 再代入式（14），即得初参数表示的挠度方程：
1 4
)
)
)
ω ( ) x = ω φ ( βx + θ 1 φ ( βx - M 1 φ ( βx - Q 1 φ ( βx ) （18）
j0 0 1 0 β 2 0 EIβ 2 3 0 EIβ 3 4
其中，引入克雷洛夫函数φ（βx）、φ（βx）、φ（βx）、φ（βx）为：
1 2 3 4
)
ìφ ( βx = chβx × cos βx
ï 1
ï
)
ï φ ( βx = (chβx × sin βx + sh βx × cos βx )
1
ï 2
í 1 2
)
ï φ ( βx = sh βx × sin βx
ï 3 2
ï
)
1
ïφ ( βx = (chβx × sin βx - sh βx × cos βx )
î 4 4
式（18）就是用初参数表示的齐次方程通解，且其每一项都有明确物理意义：φ（βx）表示当原点 O
1
有单位挠度时地基梁的挠度方程；φ（βx）β表示当原点 O 有单位转角时地基梁的挠度方程；-φ（βx） /
/
2 3
（EIβ）表示当原点 O 有单位弯矩时地基梁的挠度方程；-φ（βx）（EIβ）表示当原点 O 有单位剪力时地
2
3
/
4
基梁的挠度方程。
考虑 4 个初参数中两个由原点 O 端的边界条件可直接求出，而另外两个成为未知量，如图 3 力学
模型中，在简支端 O：ω =0、M =0；即θ 、Q 为未知量。为了统一考虑外荷载 q、P 和 M 的协同作用
0 0 0 0
影响，继续推导如下：由于假设 O 处的边界条件为已知，式 （18） 所示的挠度方程适用于 O≤x<C 的
区段长度。在点 x=C 处，正如初始截面弯矩 M 对原点 O 以右部分发生影响一样，弯矩 M 将对 x=C 以
0
右部分产生同样的影响，则式（18）中含有 M 项的系数就等同于影响系数。这一影响系数-φ（βx） /
0 3
（EIβ）是与 M 作用在原点时同样的情况推导而得。则弯矩 M 作用于 C 点右端任意位置的一般情况
2
0
为：当 x <x 时（x 为弯矩 M 的坐标位置），地基梁内由弯矩 M 引起的挠度修正项为：
M
M
3[
ω ( ) x = -M 1 φ β (x - x ] ) （19）
M EIβ 2 M
同理，当 x <x 时（x 为集中荷载 P 的坐标位置），地基梁内由集中荷载 P 引起的挠度修正项为：
p
p
4[
ω ( ) x = -P 1 φ β (x - x ] ) （20）
P EIβ 3 P
同理，当 x <x 时（x 为分布荷载 q 的坐标位置），地基梁内由分布荷载 q（x）引起的挠度修正项为：
q
q
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