Page 100 - 2021年第52卷第8期

律对切向达西流速部分的要求，即无法保证交界面两侧的切向达西流速按照折射定律呈比例 ［12］ 。科
［3］
学工作者为此提出了间断有限元法 ［13］ 、改进的 Yeh 的 S 有限元模型 等交界面处理技术。其中，Zhou
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等改进 Yeh 的模型提出的 S 有限元模型具有较高的精度，并且原理十分简单，适用于多种形态的交
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［3］
界面 。该模型通过折射定律构造了一种 Jump 函数，并运用其改进了 Yeh 的模型中交界面节点部分
的方程，从而通过迭代修正达西流速至交界面某一侧的真实达西流速，再通过折射定律得到交界面
［3］
另一侧的达西流速；但因其运用 Jump 函数时需要迭代，需要比 Yeh 的模型更大的计算消耗 。
另一方面，上述多种达西流速算法均受到有限元算法框架的限制，在模拟大尺度、非均质地下
［14］
水问题时效率较低。对此，侯一钊等提出多尺度有限元法（MSFEM） 是一种有效对策，它能够通过
构造满足局部水流方程的多尺度基函数来描述细尺度信息，从而将细尺度问题转化为粗尺度问题来
大幅降低计算消耗，具有比有限元等传统方法更高的计算效率 ［4，14-15］ 。近年来，该方法不断被国内外
科学工作者改进，提出了多种新型地下水多尺度算法 ［16-19］ ，并成功应用于地面沉降等实际问题 ［20］ ，显
示该方法在地下水数值模拟领域的应用前景。作者也将多尺度有限元法与上述第二种方式算法中的
三次样条法、双重网格法结合，提出了多种高效达西流速算法 ［21-23］ ，取得了较好的模拟结果。
本文提出的 MSFEM-D 属于第二种方式的达西流速算法，可以有效解决上述问题。MSFEM-D 不

仅能够令交界面处的达西流速满足物理规律，且具有下面两方面优势：（1）该方法不仅能够通过 Yeh
［8］
的伽辽金有限元模型 保证达西流速的连续性，而且能够通过区域分解技术将研究区用交界面分区，
［3］
避免不同介质在模拟时的相互影响并提升计算效率，同时结合 Jump 函数 保证交界面达西流速符合
折射定律，且无需任何迭代过程。（2）该方法通过多尺度有限元框架 ［14］ 替代有限元框架，能够提升水
头和达西流速的问题尺度，将大量细尺度节点替换为少量的粗尺度节点，从而降低解水头和达西流
速计算消耗，具有极高的计算效率。

2 原理和算法

2.1 MSFEM-D 的 算 法 流 程 MSFEM-D 算 法 适 用 于 地 下 水 二 维 问 题 ， 算 法 流 程 图 如 图 1。 MS⁃
FEM-D算法分为两个部分， 即水流问题模拟部分（图 1左上虚线框部分）和达西流速模拟部分（图 1右侧）。

研究区域Ω上的地下水达西流速问题
将Ω分解为互不重叠的
具有单一介质的子区域
不同介质的交界面
分解Ω上的达西
流速问题为子问题
区域分解技术
研究区域Ω上的地下水流问题
单一介质子区域上的子问题
计算地下水流问题
多尺度有限元法
选择一个子问题
Ω中的水头分布
相邻子问题的第一类边界条件 子问题的定解条件
（即相邻子区域一侧的交界面达西流速）
计算子问题 多尺度有限元法
获得相邻子区域一侧的 应用多尺度
交界面达西流速 Yeh的伽辽金模型
折射定律 基函数提升尺度
子问题所在子区域内与
相邻区域交界面处的达西流速 子问题所在子区域上的达西流速
否
所有子问题已求解完毕
是
结束

图 1 MSFEM-D 算法流程
MSFEM-D 的地下水流问题模拟部分采用现有的 MSFEM 算法 ［14］ 模拟水头，通过构造多尺度网格
和多尺度基函数可以显著提升计算效率并保证精度。MSFEM-D 的达西流速模拟部分为本文的主要创

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