Page 105 - 2021年第52卷第8期

（m · d -1 ） 300 （m · d -1 ） 300 （m · d -1 ） 300

200
200
200
达西流速 V y/ -100 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.8 达西流速 V y/ -100 0 0.0 0.2 0.4 0.4 0.8 达西流速 V y/ -100 0 0.0 0.2 0.4 0.2 0.6 1.0
100
100
100
-200
-200
-200
1.0
垂直坐标 y/L
垂直坐标 y/L
1.0
垂直坐标 y/L
0.8
0.6
0.6
0.6
0.6
0.8
0.8
0.4
0.8
1.0
1.0
0.2
0.2
0.0
1.0 0.0
0.0
水平坐标 x/m
水平坐标 x/m
水平坐标 x/m
（b）MSFEM-D 的数值解 V y （c）Model-Zhou-F 的数值解 V y
（a）例 3.1 中的解析解 V y
图 4 达西流速 V y的解析解以及 MSFEM-D 和 Model-Zhou-F 所获的数值解
时，MSFEM-D 和 Model-Zhou-F 所获的数值解与解析解很接近，两种方法的全局平均相对误差均分
别为 1.1%和 0.2%。这是由于 Model-Zhou-F 是直接在细尺度上求解方程的，能够获得比 MSFEM 类方
法略高的计算精度，但这也产生了大量的计算消耗，降低了其的计算效率。
本例中各方法的计算消耗对比如表 1 所示。其中，Model-Zhou-F 所消耗的 4236 s 的 CPU 时间
中，204 s 为运用 FEM-F 模拟水头的时间；3789 s 为模拟 V 场的时间，因处理交界面而迭代了 15 次；
x
243 s 为模拟 V 场的时间，因 V 在交界面连续而无需迭代。Model-Yeh-F 则使用了 204 s 模拟水头，并
y
y
分别运用两个 243 s 模拟 V 场和 V 场。和其他方法不同，MSFEM-D 所构造的模拟水头、达西流速的
y
x
方程组的阶数都很低，故 MSFEM-D 仅使用不到 1 s 即可完成本例的模拟，且能获得与 Model-Zhou-F
几乎相同的效果，具有最高的计算效率。
表 1 例 3.1 中各方法的计算消耗对比
方法 H 总方程组阶数 V 总方程组阶数 V 总方程组阶数 总 CPU 时间/s
y
x
MSFEM-D 841 496（Zone1）+465（Zone2） 900 ＜1
Model-Zhou-F 7921 8281（迭代 15 次） 8281 4236
Model-Yeh-F 7921 8281 8281 690
3.2 含水平与倾斜两个介质交界面的二维地下水稳
D D 无 流 量
无流量
定流问题 本例是基于 Zhou 等在 2001 年工作中的数
［3］
值算例 。本例的地下水水流和达西流速的控制方程 Z Zone 3 3
o
e
n
与上例相同。研究区域Ω为［0，120 m］×［0，120 m］。 H H=1m
m
=
1
k k
如图 5所示，研究区所含的两条交界面为水平交界面 AB H H=0m Zone 2 i i j j k k
m
0
=
n
2
e
o
Z
（y=20 m）和倾斜交界面 CD（x+y=160 m）。这两条交界面 i i j j
C C
将研究区分为 Zone 1、Zone 2、Zone 3 三个区域，相
A A B B
应的渗透系数分别为 K =K =100 m/d、K =K =10 m/d
2x
x
y
2y
e
o
n
Zone 1 1
Z
和 K =K =100 m/d。研究区上下边界为隔水边界，左 无 流 量
3x
3y
无流量
右边界为定水头边界， 左右水头值分别为 0 m 和 1 m。 图 5 例 3.2 中的研究区Ω示意图
本 例 采 用 MSFEM-D、 Model-Zhou-F 和 Mod⁃
el-Yeh-F 进行模拟。MSFEM-D 将研究区剖分为 1152（24×24×2）个粗网格单元，再将每个粗网格单元
剖分为 4 个细网格单元（图 5 右侧）；MSFEM-D 在模拟达西流速时，在每个子区域中延用了水头网
格；Model-Zhou-F、Model-Yeh-F 直接将研究区剖分 4608（48×48×2）个网格单元。本例没有解析解，
故将运用 Model-Zhou-F 将研究区剖分为 18 432（96×96×2）个单元获得的解作为“参照解”。
各方法所获的水头值如图 6 所示。可以看出，研究区的水头场是按照图 6 所示的区域进行分布的，
能够较明显的看到研究区内所包含的交界面。MSFEM-D 运用 MSFEM 所获的水头场以及 Model-Zhou-F
和 Model-Yeh-F 运用 FEM-F 所获的水头场的精度都很高，水头平均相对误差分别为 0.58%和 0.15%。
图 7 展示了参照解以及各方法的数值解 V 在交界面 AB（图 7（a））以及截面 x=80 m 处（图 7（b））的
x
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