Page 101 - 2021年第52卷第8期

［14］ ［8］
新部分，该部分综合了区域分解算法、MSFEM 、 Yeh 的伽辽金有限元模型 和 Zhou 根据折射定律
［3］
构造的 Jump 函数 的优点。首先，MSFEM-D 运用交界面将研究区剖分为子区域，并运用区域分解算
法将研究区上的模拟问题划分为若干子区域上的子问题。其次，MSFEM-D 将 MSFEM 和 Yeh 的伽辽
金有限元模型进行了组合，即，运用 MSFEM 的多尺度基函数替换 Yeh 的伽辽金有限元模型中的有限
元基函数。再次，运用 MSFEM 和 Yeh 的伽辽金有限元模型的组合方法求解子区域上的子问题；在获
得首个子问题上交界面处的达西流速值后，通过折射定律构造的 Jump 函数获得其相邻子区域交界面
上的达西流速，并作为下一个子问题的边界条件。最后，循环这个过程，直到求解完毕。需要指出
的是，在实际工作中，需要根据实际地下水问题的条件进行建立概念模型、选择数学模型，再应用
本算法，并进行模型校正等后续步骤以完成地下水问题的模拟工作。
2.2 MSFEM-D 的网格构造 设水平方向为 x 方向，垂直方向为 y 方向。图 2 为 MSFEM-D 对含一条
水平交界面的示例研究区Ω的剖分， 具体分为水头模拟
y y
网格和达西流速模拟网格两部分。
2.2.1 MSFEM-D 的 水 头 模 拟 网 格 在 模 拟 水 头 时 ，
Zone 2
MSFEM-D 运用多尺度网格进行剖分 ［14］ ，先将研究区剖 Z o n e 2
分为粗网格，再将粗网格剖分为细网格。本方法的粗、
A A k k B B k k
细网格的数量可以根据数值模拟具体需要进行设置。图 i i j j
i i j j
2 为本文的数值模拟实验所用的剖分，MSFEM-D 先将Ω
Z o n e 1
Zone 1
直接剖分为 1800（30×30×2）个三角形粗网格单元，此时
交界面 AB 不作为分区界限。 然后，MSFEM-D 再将每 Ω Ω x x
个粗网格单元剖分为 9（3×3）个细网格单元，图 2 右侧小 图 2 MSFEM-D 对示例研究区的剖分
三角形Δ 为一示例粗网格单元及其细网格单元。
ijk
2.2.2 MSFEM-D 的达西流速模拟网格 在模拟达西流速时，MSFEM-D 先运用交界面将研究区剖分
为若干个仅含单一介质子区域，再进行粗、细网格剖分，具体粗、细网格的数量可根据数值模拟的
需要进行设置。如图 2 中，MSFEM-D 运用 AB 将研究区剖分为 Zone 1 和 Zone 2 两个子区域，然后延用
水头的模拟网格分别将两个子区域剖分为 900（30×15×2）个粗网格单元，再将每个粗网格单元剖分为
9 个细网格单元。
2.3 折射定律与 Jump 函数 在含水介质交界面处，地下水水头和达西流速需符合折射定律 ［1-2］ ：
-
+
V ·n = V ·n （1）
+
H = H - （2）
式中：V 为达西流速向量； n 为交界面的法向单位向量 ； H 为水头；+、-号分别代表交界面的两侧。
T T
设交界面的法向单位向量 n = [ n ，n y ] 、切向单位向量 s = [ n ， - n x ] ， K 和 K 分别为 x 和 y 方向
y
x
x
y
éK 0 ù
的渗透系数分量，且坐标轴方向与渗透系数主方向一致，即 K xy = K yx =0，则 K = ê ê x ú ú 。根据达西
ë 0 K y û
定律，可以得到 Jump 函数向量 V ：
［3］
jump
é æ - ö é æ K - - ö æ - ö ù ù
-1
ê ê ç n + K y n 2 ÷ ê ç y - K y ÷ n V + - ç 1 - K y ÷ n n V + ú ú ú
2
2
é V + - V - ù ê ê ç è x K x - y ÷ ê ç K x - K x + ÷ ø y x ç è K y + ÷ ø x y y û ú ú ú
ø ë è
V jump = ê ê V x + - V x - ú = ê ê ê ê -1 ú ú ú ú （3）
ú
ë y y û æ K - ö é æ K - K - ö æ K - ö ù
ê ê ç n + x n 2 ÷ ê ç x - x ÷ n V + - ç1 - x ÷n n V + ú ú ú
2
2
ê ê ç y K - x ÷ ê ç K - K + ÷ x y ç K + ÷ x y x ú ú ú
ë è y ø ë è y y ø è x ø û û
2.4 构造多尺度基函数 设示例粗网格单元为 Δ ，其顶点i 、 j 、 k 的多尺度基函数分别为 Ψ 、Ψ 、
i
j
ijk
Ψ ， Δ 具有 p 个内点， M ，τ = 1，2，…，p 。以多尺度基函数 Ψ 的构造过程为例，考虑在粗网格
k ijk τ i
单元 Δ 上的简化的椭圆方程：
ijk
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