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水 利 学 报

2021 年 8 月 SHUILI XUEBAO 第 52 卷 第 8 期

文章编号：0559-9350（2021）08-0979-10

一种模拟介质交界面处达西流速的分区多尺度有限单元法

谢一凡 ，吴吉春 ，叶 逾 ，谢春红 ，鲁春辉 1，2，5
1，2
1，2
4
3
（1. 河海大学 水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，江苏 南京 210098；
2. 河海大学 水利水电学院，江苏 南京 210098；3. 南京大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 210023；
4. 南京大学 数学系，江苏 南京 210093；5. 河海大学 长江保护与绿色发展研究院，江苏 南京 210098）
摘要：地下含水层常由多种不同含水介质组成，交界面处的达西流速需符合折射定律，传统数值方法难以准确模
拟。基于多尺度有限元法和区域分解技术提出分区多尺度有限元法（Multiscale finite element method with Domain
decomposition technique，MSFEM-D）模拟交界面处的达西流速。该方法运用多尺度有限元法模拟水头，获取全局
信息保证解的精度，并提升尺度以降低计算消耗；再利用区域分解技术将研究区分区以分离界面两侧介质，同时
结合多尺度基函数和 Yeh 的有限元模型来高效模拟达西流速。因此，MSFEM-D 不仅能保证交界面处的法向达西
流速的连续性，还能保证切向达西流速符合折射定律。数值模拟结果表明 MSFEM-D 能够保证达西流速在交界面
处满足折射定律，精度与 Zhou 等的 S 1有限元模型相近，并可节约大量计算消耗。
关键词：地下水数值模拟； 多尺度有限元法；区域分解技术； 含水介质交界面；折射定律
中图分类号：P641.2 文献标识码：A doi：10.13243/j.cnki.slxb.20201082

1 研究背景

天然地下水系统常由多种不同的含水介质组成，伴随着裂隙、透镜体等地质特征。在含水介质
交界面处，根据折射定律， 交界面法向达西流速和水头具有连续性，切向达西流速则具有不连续性
且需按折射定律呈比例 ［1-3］ 。然而，有限元等传统方法难以保证达西流速的连续性，更不能保证交界
面处的达西流速符合折射定律。另一方面，地下水问题具有时空大尺度特性、非均质性等特征。有
限元法在模拟地下水问题时常需要精细剖分的网格以保证精度，而精细剖分的网格中含有大量的节
点，需要大量的计算消耗和计算时间进行模拟，导致有限元等传统方法在模拟地下水问题时的计算
效率较低 ［4-5］ 。本文提出的分区多尺度有限元法（MSFEM-D）能够有效解决上述问题，不仅能够令交界
面处的达西流速满足折射定律，并且具有极高的计算效率。
连续达西流速算法能够保证节点达西流速值唯一，即流入流出某截面的流量守恒，具有重要意
义。然而，有限元等传统算法无法保证节点水力梯度连续性，也无法获得连续的节点达西流速。现
有连续达西流速算法具有比传统有限元等方法更高的精度，主要有两种模拟方式。第一种是将水流
方程和达西方程进行耦合，将水头和达西流速同时作为未知项，迭代求解达西流速。这种方式具有
较高的计算精度，但需要较大的计算消耗来进行迭代，代表方法为混合有限元法 ［6-7］ 。第二种则是将
水头和达西流速先后分别通过水流方程和达西方程进行模拟。这种方式的算法简单直接，也具有较
［8］
［9］
高的计算精度，应用比较广泛，代表方法有 Yeh 的伽辽金有限元模型 、张志辉等的三次样条法 、
Batu 的双重网格法 ［10］ 等。其中， Yeh 的伽辽金有限元模型应用最广泛，还可保证全局质量守恒 ［11］ 。
［8］
虽然 Yeh 在传统有限元基础上改进了模型 ，能保证节点达西流速的连续性，却无法保证折射定
收稿日期：2020-12-28；网络首发时间：2021-06-28
网络首发地址：http：/kns.cnki.net/kcms/detail/11.1882.TV.20210628.1026.001.html
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基金项目：中央高校基本业务费项目（B210202018）；国家自然科学基金面上项目（51879088）
作者简介：谢一凡（1987-），副教授，主要从事地下水数值算法研究。E-mail：yfxie@hhu.com
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