Page 124 - 2022年第53卷第1期

函数（也称分段常值函数）。对于评价期内随时间变化的垂向水量交换强度ε（t），令评价期为 n 段，第
i 段时间为 t ~ t ，对应的垂向水量交换强度为ε 。ε 为正，表示补给含水层；ε 为负，表示排泄含水
i-1 i i i i
层。采用“叠加法”将ε（t）写成阶梯函数形式：
n
1 å
ε ( ) t = ε + [ε - ε i - 1 ]H (t - t i - 1 ) t > t i - 1 ，i ∈ N ∗ （5）
i
i = 2
式中：ε 为第 1 个时段（即 t ~ t 时段）内对应的垂向水量交换强度，m/d；H（t-t ）是 Heaviside 函数，
1 0 1 i-1
当 t＜t 时、H（t-t ）=0，当 t≥t 时、H（t-t ）=1。
i-1 i-1 i-1 i-1
2.3 模型求解 在模型（Ⅰ）中，当 h（x，t）-h（x，0）≤0.1 h （h 为潜水含水层的平均厚度，这在解决
m
m
实际问题的过程中基本可以满足 ［15-18］ ）时，可以采用 Boussinesq 方 程 第 一 线 性 化 方 法 ， 令 u（x， t）=
h（x，t）-h（x，0）。
对模型（Ⅰ）求关于 t 的 Laplace 变换，注意阶梯函数 Laplace 变换的性质 L［ε（t）］=ε（t）s ［20］ ，L［ε
/
（t）］是关于ε（t）的 Laplace 算符，可得模型（Ⅱ）：

∂ u ˉ - s u ˉ + ε ( ) t ⋅ 1 = 0 （6）
2
∂x 2 a aμ s
| u ˉ = 0 （7）
x = 0
u ˉ| x → ∞ = ε ( ) t ⋅ s 1 2 （8）
μ
式中：a=Kh /μ，a 为导压系数，m /d；s 为 Laplace 算子；u ˉ 为 u 关于 t 的 Laplace 变换过程中的象函数。
2
m
模型（Ⅱ） 中的式（6）是二阶常微分方程，由该二阶常微分方程的通解，结合边界条件式（7）、式
（8），可获得模型（Ⅱ）的特定解：
ε ( ) t é æ s ù ö
)
u ˉ (x，s = ⋅ 1 ⋅ ê ê 1 - 1 ⋅ exp ç - x ú ú ÷ （9）
μ s ë s s è a û ø
对式（9）进行 Laplace 逆变换，［f（t）］s 项求逆变换时，注意 Laplace 变换中的“积分性质”，即：
/
é t ù 1
L ê f ( ) t dt ú = L[ f ( ) t ] - f ( ) 0 （10）
ë  0 û s
é æ s ù ö æ x ö
由 L -1 é ù 1 = 1、 L ê ê ⋅ exp ç - x ú ú ÷ = erfc ç ç ÷ ÷ ， 注 意 erf（z）=1-erfc（z）， 式（10）中 f（0）=erf（0）=
-1 1
ë û s ë s è a û ø è 2 at ø
0，得到：
ε ( ) t t æ x ö
)
u(x，t = erf ç ç ÷ ÷ dt （11）
μ  0 è 2 at ø
式中 erf（z）为误差函数，z = x 。
2 at
因为 u（x，t）=h（x，t）-h（x，0），并将式（5）代入式（11），结合 Heaviside 函数的性质，可得：
æ ö
ε t æ x ö n éε - ε ù t x
)
)
h(x，t = h(x，0 + 1 erf ç ç ÷ ÷ dt + å ê i i - 1 erf ç ç ÷ ÷ dt （12）
μ  0 è 2 at ø i = 2ë μ ú  t i - 1 ç ç 2 a(t - t ) ÷ ÷
û
è i - 1 ø
式（12）即为模型（Ⅰ）的解，也即水位“稳定不变”沟渠边界条件下、含时变垂向水量交换项ε（t）的
潜水非稳定渗流模型的解，同时也是文献［18］的解在△H=0 时的特例。
2.4 解析解的数值验证 在研究河渠附近一维潜水非稳定渗流问题时，针对不同的实际问题，Zissis
和 Bansal 等通过 Laplace 变换方法，得到了一维线性化形式的 Boussinesq 方程的解析解，利用 MacCor⁃
mack 显式差分方案对解析解进行了数值验证 ［21-23］ 。MacCormack 格式是一种求解可压缩流体流动问题
的显式有限差分格式，在时间和空间上具有二阶精度 ［21-29］ 。
本文利用 Laplace 变换法求解了线性化的 Boussinesq 方程，得到了含时变垂向水量交换项ε（t），
水位“稳定不变”沟渠边界条件下潜水非稳定渗流模型的解，为了验证线性化方法的有效性和解析解

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