Page 32 - 2022年第53卷第1期

式中Δx i = x i - x i - 1 为渠段 i 的长度，m。
把式（38）代入式（37）消去Δt i 得水温的沿程分布递推计算公式
(
T wp,i = -c i + (b i T wp,i - 1 + c i )exp( b i Δx i ( ρC P Q i ) ) ) b i ，i = 1，2，⋯，n （39）
式中Q i = A i V i 为渠段 i 的流量。上式表示水温T wp,i 随着距离x i = x 0 + Δx 1 + Δx 2 + ⋯ + Δx i 的增加呈指数规
律变化。
在分析冰水动力学过程中，水力学过程和热力学过程可以分别交替独立进行，即在计算水深和
流量的变化过程中，可以不考虑水温的变化，而在计算水温的变化时，在Δt i 时段内流速可视为已知
不变量。另外，当需要计算相同时刻水温的沿程变化规律时，可采用专著 ［14］ 的特征线插值方法求解。
对于均匀流，在冬季寒潮情况下，如果参数 b 和 c 为常数，当令 T =0，从式（39）可得水温由渠道
wp
进口 x =0 的温度 T 下降到 0 ℃的条件
0 w0
ρC P Q æ c ö
x pc = ln ç ÷ （40）
b è bT w0 + c ø
式中：x pc 为水温由正转负的渠道临界长度，m；下标 0 代表时刻 t 的参数。达到 x 的时间 t =Vx ，当
0 pc c pc
x <x ，渠道水温为正，不会产生冰花；当 x >x 时，渠道中将开始产生冰花，存在发生冰塞的风险。
pc
p
p
pc
根据式（40）可知临界长度 x 与流量 Q 成正比，因此可得重要结论：增大输水流量可以减小水温
pc
的下降速度，增加水温由正转负的临界长度。
下面分析气温 T 、渠道进口水温 T 、等效地温 T 和太阳辐射ϕ sn 对临界长度 x 的影响。为此，
be
pc
a
w0
首先证明一个定理：明渠水温由正转负的临界长度 x >0 的充分必要条件是 c<0。
pc
证 明 ：（1）由 式（36）可 知 b<0， 即 bT <0， 所 以 由 式（40）得 x >0 的 充 分 必 要 条 件 是
w0 pc
)
)
)
0 < c (bT w0 + c < 1。（2） 如果 c<0，则0 < c (bT w0 + c < 1总是成立；如果 c>0，则0 < c (bT w0 + c < 1的条
件是bT w0 >0，与bT w0 <0 矛盾。证毕。
对式 （40） 分别求 T 、T 、T 和ϕ sn 的偏导数，可得下述重要结论：
be
a
w0
∂x pc T w0 ρC P Q æ ∂ϕ sa0 ö
（1） = B çh sa + ÷ > 0，表示 x 随气温 T 的下降而减小；
a
pc
∂T a c(bT w0 + c ) è ∂T a ø
∂x pc ρC P Q
（2） = - > 0，表示 x 随渠道进口水温 T 的增加而增加；
pc
∂T a0 bT w0 + c w0
∂x pc T w0 ρC P Q
（3） = χh wbe > 0，表示 x 随等效地温的 T 增加而增加；
∂T be c(bT w0 + c ) pc be
∂x pc T w0 ρC P Q
（4） = B > 0，表示 x 随太阳辐射ϕ sn 的增加而增加。
∂T sn c(bT w0 + c ) pc
)
4.2 非线性热交换模型水温的解析 当采用非线性化热交换模型，即考虑h sa2 (T w - T a 的影响，则由
2
式（13）（23）得明渠水体与周围环境的热交换
é ) 2 ù )
ë û
Bϕ sa - χϕ wbe = B ϕ sa0 - h sa (T w - T a - h sa2 (T w - T a ) - χh wbe (T w - T be （41）
将式（41）代入式（26）得
aT w + bT w + c
2
dT w = （42）
dt ρC P A
式中：
) 2
a = -Bh sa2 < 0，b = B (-h sa + 2h sa2 T a - χh wbe ，c = B (ϕ sa0 + h sa T a - h sa2 T a ) + χh wbe T be （43）
2
对实际输水工程， b - 4ac > 0总是成立。当把明渠分成为 n 段，在每一段参数 a、b、c、A 为常
数，则对式（42）沿特征线积分得
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