Page 33 - 2022年第53卷第1期

ö
æ T wp,i + r 1,i
T wp,i - 1 + r 1,i
ln ç ç ÷ ÷ = -r 3,i Δt i
è T wp,i + r 2,i T wp,i - 1 + r 2,i - 1 ø
即
) )
-r 1,i + r 2,i exp(-r 3,i Δt i )(T wp,i - 1 + r 1,i (T wp,i - 1 + r 2,i
T wp,i = ，i = 1，2，⋯，n （44）
)
1 - exp(-r 3,i Δt i )(T wp,i - 1 + r 1,i (T wp,i - 1 + r 2,i )
式中：

2
2 b i + b i - 4a i c i b i - 4a i c i
2
b i + b i - 4a i c i
r 1,i = ，r 2,i = ，r 3,i = （45）
2a i 2a i ρA i C p
把式（38）代入式（44）消去Δt i 得水温的沿程分布递推计算公式，
) )
-r 1,i + r 2,i exp(-r 3,i Δx i V i )(T wp,i - 1 + r 1,i (T wp,i - 1 + r 2,i
T wp,i = ，i = 1，2，⋯，n （46）
)
1 - exp(-r 3,i Δx i V i )(T wp,i - 1 + r 1,i (T wp,i - 1 + r 2,i )
由于系数r 3,i >0 总是成立，所以水温T wp,i 随着离开渠道进口距离x i = Δx 1 + Δx 2 + ⋯ + Δx i 的增加呈指
数规律变化，逐渐趋近于-r 1,i 。
对于均匀流，在冬季寒潮情况下，如果参数 a、b、c 为常数，当令 T =0，则由式（46）可得水温
wp
由渠道进口 x =0 的温度 T 下降到 0 ℃的条件，
0 wp0
V ö
x pc = - ln ç æ r 1 T w0 + r 2 ÷ （47）
r
r 3 è 2 T w0 + r 1 ø
当 x >x 时，渠道中将开始产生冰花。
pc
p
5 算例

下面仍以第 2 节南水北调中线渠道为例，在假设流动为恒定均匀流的条件下，计算比较非线性与
线性热交换模型及其适用范围。
已知渠道断面为梯形，渠底宽 B =20.0 m，边坡系数 m=3.0，水的密度 ρ=1000.0 kg/m ，水的比热
3
b
C =4217.7 J/（kg·℃），相对湿度 R =90%，设计流量 Q=150.0 m /s，设计水深 H=5.0 m，夜间ϕ sn =0，
3
P
h
h =0.81 W/（m·℃），T =3.95 ℃，渠道进口水温 T = 1 ℃，风速 V =0。
2
wbe be w0 z
图 3 示出了分别采用式（28）本文线性热交换模型、式（29）传统线性热交换模型和式（41）非线性热
交换模型计算的水温由正转负临界长度 x 随气温 T 的变化规律及三者之间的计算偏差相对值δ 。在
pc
a
图 3（a）中：曲线 1 是基于非线性热交换模型由式（47）计算的结果；曲线 2 是基于本文线性热交换模型
由式（40）计算的结果；曲线 3 是基于传统线性热交换模型由式（40）的计算结果，其中热交换系数 h =
sa
20 W/（m·℃）。在图 3（b）中，曲线 1 是非线性热交换时临界长度 x 与本文线性热交换模型时的 x 的
2
pc1 pc2
| x pc1 随气温 T 的变化；曲线 2 是非线性热交换模型时的 x 与传统线性热交
偏差相对值δ 1 =| x pc1 - x pc2 a pc1
|
换模型时的 x 的偏差相对值δ 2 =| x pc1 - x pc3 随 T 的变化。
pc3 a
观察图 3 可见，（1）渠道由正转负的临界长度 x 随气温 T 的下降而减小；（2）在气温 T <-10 ℃条
a
a
pc
件下，δ 1 和δ 2 随着 T 的减小而略微增大，并且δ 1 >δ 2 ，例如，在 T =-18 ℃时，δ 1 =20%，而δ 2 =12%；（3）
a
a
在气温 T >-10 ℃条件下，δ 1 随着 T 的增大而线性减小，但δ 2 随着 T 的增大而迅速增大，当 T >-4 ℃
a
a
a
a
时，δ 2 >60%。
综上所述，可得重要结论：（1）传统线性热交换模型式仅适用于气候比较严寒地区封河期，例如
我国东北，但不适用于我国华北地区，包括南水北调中线，因为这些地区冬季日平均气温常常大
于-10 ℃；（2）本文线性热交换模型在|T a - T w |<10 ℃时与非线性热交换模型计算结果非常接近，偏差
相对值δ <10%。
— 28 —