Page 86 - 2022年第53卷第1期

式中： f ( ) x 为上层水环境保护主体的排污总量，万 t； f ( ) x 为下层水资源经济利用主体的经济效
L
U
益，亿元。
主从博弈模型（6）采用双层模糊优化方法求解 ［19-20］ 。考虑在上、下层决策相互影响的主从博弈模
型中，上层领导者直接用上层最优解对下层跟从者进行控制并不符合实际，因此，将上层领导者与
下层跟从者的目标函数描述为隶属度函数，以反映上层目标与下层目标的满意度；并引入上层决策
变量范围的隶属度函数，允许下层跟从者在该容许范围内寻找最优解，相对减少了寻优时间。
主从博弈模型的目标函数转化为上、下层隶属度函数的公式如下：
x
ì 1， f ( ) x ≤ f ( )
0
0
ï U U u
ï f ( ) x - f ( )
ï
*
x
ï
x
x
μ [ f ( ) x ] = í U U l ， f ( ) < f ( ) x ≤ f ( ) （7）
0
0
0
*
x
U f U ï f 0 - f ( ) U u U U l
ï U U l
ï
ï 0， f ( ) < f ( ) x
x
0
î U l U
x
ì 1， f ( ) ≤ f ( ) x
0
0
ï L l L
ï ï f ( ) x - f ( )
x
0
μ [ f ( ) x ] = í ï L L u ， f ( ) ≤f ( ) x < f ( ) （8）
x
x
0
0
0
f
x
0
1
L L ï f - f ( ) L u L L l
ï ï L L u
ï 0， f ( ) x < f ( )
x
0
î L L u
x
式中： μ [ f ( ) x ] 与 μ [ f ( ) x ] 为上层与下层目标函数的隶属度函数； f ( ) 为上层目标函数单独
0
0
f
f
U U L L U u
x
求解时的最优值，对应的解为最优解 x ； f ( ) 为下层目标函数单独求解时的最优值，对应的解
0
0
0
u
l
L
x
x
0
为最优解 x ； f ( ) 为下层最优解 x 代入上层目标函数所得到的值， f ( ) 为上层最优解 x 代
0
0
0
0
0
l U l l L u u
入下层目标函数所得到的值。
x
0
0
对于上层隶属度函数式（7），上层领导者希望排污总量目标越小越好，当 f ( ) x ≤ f ( ) 时，表
U U u
x
0
0
示上层目标函数值 f ( ) x 小于等于其单独优化值 f ( ) ，上层目标函数隶属度为 1，表示达到了上
U U u
x
层领导者的目标；当 f ( ) < f ( ) x 时，表示当上层目标函数值 f ( ) x 大于下层最优解 x 代入上层目
0
0
U l U U l
x
0
标函数所得到的值 f ( ) ，上层目标函数隶属度为 0，表示上层领导者拒绝下层反馈的解。说明在
U l
主从博弈中，上层领导者希望最优决策变量使得上层目标函数越接近其单独求解的最优值越好。
x
对于下层隶属度函数式（8），下层跟从者希望经济效益目标越大越好，当 f ( ) ≤ f ( ) x 时，表
0
0
L l L
x
0
0
示下层目标函数值 f ( ) x 大于等于其单独优化值 f ( ) ，下层目标函数隶属度为 1，表示达到了下
L L l
x
层领导者的目标；当 f ( ) x < f ( ) 时，表示当下层目标函数值 f ( ) x 小于上层最优解 x 代入下层目
0
0
L L u L u
x
标函数所得到的值 f ( ) ，下层目标函数隶属度为 0，表示下层跟从者不接受上层提供的解。说明
0
L u
在主从博弈中，下层跟从者希望最优决策变量使得下层目标函数越接近其单独求解的最优值越好。
在上层领导者与下层跟从者的交互过程中，上层领导者给下层跟从者一个可接受的决策变量范
围，上层决策变量的隶属度函数的公式如下：
ì x - ( x - d )
0
ï u u ，x - d ≤ x ≤ x 0
ï
0
ï d u u u
ï
)
x
μ ( ) = í x + d - x （9）
0
x
u u ï ( u d u ，x < x ≤ x + d
0
ï
0
ï
u
u
u
ï
î0 ， 其他
式中： x 为上层决策变量；d 为上层最优决策解 x 周边的最大容忍范围，说明在在主从博弈中，上
0
u u
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