Page 22 - 2022年第53卷第4期

在理想弹塑性有限元分析时，上式等价于给定滑动面的摩尔-库仑准则：
τ = σ tanϕ ′ + c ′ （6）
n
式中：τ、σ n 分别为沿滑动面的剪应力和法向应力；ϕ ′、c ′为沿滑动面的摩擦角和黏聚力。
数值计算和理论分析均可以证明，当按平面问题采用式（6）的屈服准则通过降强法进行有限元非
线性计算时得到的抗滑稳定安全系数与式（5）的刚体极限平衡法一致。
有限元非线性分析一般按三维问题计算，三维应力状态下的摩尔-库仑准则为：
)
ìσ - σ = 2c ′cosϕ ′ - (σ + σ sinϕ ′
ï 1 3 1 3
í （7）
ï σ = R
î 1 t
式中：σ 1 、σ 3 分别为第 1、3 主应力；R t 为抗拉强度。
由于重力坝分坝段挡水，坝轴向自由，第一、三主应力往往出现在断面平面外，即最大剪应力τ
不出现在断面平面内，且大于断面内剪应力，因此基于式（7）通过降强法进行非线性分析得到的安全
系数往往小于刚体极限平衡结果。为便于与刚体极限平衡法结果比较，建议降强法计算抗滑稳定安
全系数时：①给定滑动面；②取代表断面按平面问题计算；③屈服准则采用式（6）。

3 等效内力法

3.1 内力求解 由于线弹性有限元应力结果具有网格依赖性，且在坝踵有应力集中现象，难以制定
与有限元相适应的应力控制标准，可采用等效应力法解决上述问题。
等效应力法是基于有限元结果采用内力等效的方法求出沿指定断面（如建基面）的内力（见图 3），
进一步采用材料力学法求出应力，采用摩尔-库仑准则求抗滑稳定安全系数的方法。该方法可以发挥
有限元和材料力学法两者的优势。等效内力的计算有两种方法，即应力积分法和直接内力法。

F 1
W 2
F 2
W 1

T 1 T 2

M 2
M 1
N 1 N 2
图 3 新老坝块分载内力
应力积分法首先根据有限元结果求出建基面的法向和切向应力，再沿建基面进行积分求出内
力。由于应力的精度比位移低一阶，应力积分法有时会有较大误差，本文采用文献［24］提出的直接
反力法。
将老坝块、新坝块及基础看作 3 个子域（图 4），给定编号为 1、2、3。设子域的子刚度为 K 、位
ij
移 u 、外荷载为 P ；i，j=1，2，3；F 为 i、j 子域之间相互作用力，则有限元方程为 ［24］ ：
i
i
ij
éK K K ùì ü ìP ü
u
1
ê ê K 11 K 12 K 13 úï ï ï P 1 ï
ú u
ú
ê ê 21 22 23 í ý = í 2 ý ï （8）
2
ï
úï ï
K
u
ë 31 K 32 K 33 ûî þ î P 3 þ
3
求解方程（8）得到{u }后，可用下式求出各子域之间的相互作用节点力：
i
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