Page 107 - 2022年第53卷第8期

一步概率转移矩阵式（１６）和（１７）
Ｈ（ｕ，ｖ） ＝Ｐ（Ｘ ＝ ｋ，Ａ ＝ ｖＸ＝ ｍ，Ａ＝ ｕ） （１５）
ｔ ｔ ＋ １ ｔ ＋ １ ｔ ｔ
λ （１ － β ） ＋ ［１ － λ （１ － β ）］ π ０ （１ － β ）（１ － λ ） π １
Ｈ ＝ （１６）
０
β （１ － λ ） π ０ βλπ ０
βλπ １ β （１ － λ ） π １
Ｈ ＝ （１７）
１
(
（１ － β ）（１ － λ ） π ０ λ １ － β ) ＋ ［１ － λ （１ － β ）］ π １
３．３ ＤＡＲ（１）和 ＤＡＲＭＡ（１，１）模型检验 ＤＡＲ（１）和 ＤＡＲＭＡ（１，１）模型检验主要包括 ＡＣＦ、干湿
游程的理论值与样本值拟合效果评估。
（１）自相关系数 ＡＣＦ检验。样本经验自相关函数是根据干日和湿日的序列计算的，即 ０和 １序
列 ［２６］ ，计算公式为
Ｎ－ ｋ Ｎ
－ １
２
ｋ ∑
ｘ）（ｘ － 珋]∑
ｘ）
ｒ＝ [ （ｘ － 珋 ｔ ＋ ｋ ｘ） [ （ｘ － 珋 ] （１８）
ｔ
ｔ
ｔ ＝１ ｔ ＝１
ｘ为ｘ序列的均值。
式中：ｘ为 ０或 １序列；Ｎ为样本容量； 珋
ｔ ｔ
将通过式（１８）计算的样本序列 ＡＣＦ值与式（５）和式（１３）计算的理论 ＡＣＦ值进行对比分析检验。
（２）干湿游程检验。游程定义为同一类型事件的持续，它在开始和结束时由其他类型的事件界定。
在模拟日降水序列时，ＤＡＲ（１）的理论干湿游程长度数学表示为
Ｐ（Ｔ ＝ ｔ） ＝Ｐ（Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ，…，Ｘ＝ １ ，Ｘ ＝ ０ Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ） （１９）
１
ｔ
１
ｔ ＋ １
０
０
１
Ｐ（Ｔ ＝ ｔ） ＝Ｐ（Ｘ ＝ １，Ｘ ＝ ０，…，Ｘ＝ ０，Ｘ ＝ １ Ｘ ＝ ０，Ｘ ＝ １） （２０）
１
ｔ
ｔ ＋ １
０
０
１
０
采用 ＤＡＲ（１）模型的一步转移概率矩阵简化游程计算，可得理论干湿游程长度概率分布为
ｔ － １
Ｐ（Ｔ ＝ ｔ） ＝ｐ （１，１）［１ － ｐ（１，１）］ （２１）
１
ｔ － １
Ｐ（Ｔ ＝ ｔ） ＝ｐ （０，０）［１ － ｐ（０，０）］ （２２）
０
ＤＡＲＭＡ（１，１）的理论湿游程长度数学表示为
Ｐ（Ｔ ＝ ｔ） ＝Ｐ（Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ，…，Ｘ＝ １ ，Ｘ ＝ ０Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ）
１ ０ １ ｔ ｔ ＋ １ ０ １
Ｐ（Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ，…，Ｘ＝ １ ，Ｘ ＝ ０ ） （２３）
０
ｔ
ｔ ＋ １
１
＝
Ｐ（Ｘ ＝ ０，Ｘ ＝ １）
１
０
由Ｘ与Ａ构成的一阶二元 Ｍａｒｋｏｖ链可得
ｔ
ｔ
Ｐ（Ｘ ＝ ０，Ｘ ＝ １） ＝Ｐ（Ｘ＝ ０，Ａ＝ ０）Ｐ（Ｘ ＝ １，Ａ ＝ ０Ａ＝ ０）
０ １ ｔ ｔ ｔ ＋ １ ｔ ＋ １ ｔ
＋ Ｐ（Ｘ＝ ０，Ａ＝ ０）Ｐ（Ｘ ＝ １，Ａ ＝ １Ａ＝ ０）
ｔ ｔ ｔ ＋ １ ｔ ＋ １ ｔ
＋ Ｐ（Ｘ＝ ０ ，Ａ＝ １ ）Ｐ（Ｘ ＝ １ ，Ａ ＝ ０Ａ＝ １ ）
ｔ ｔ ｔ ＋ １ ｔ ＋ １ ｔ
（２４）
＋ Ｐ（Ｘ＝ ０ ，Ａ＝ １ ）Ｐ（Ｘ ＝ １ ，Ａ ＝ １Ａ＝ １ ）
ｔ ｔ ｔ ＋ １ ｔ ＋ １ ｔ
］［Ｈ（０，０） ＋ Ｈ（０，１）］
０ ０ １ １
＝［Ｈ（０，０） π ０ ＋ Ｈ（１，０） π １
］［Ｈ（１，０） ＋ Ｈ（１，１）］
＋ ［Ｈ（０，１） π ０ ＋ Ｈ（１，１） π １
０ ０ １ １
Ｐ（Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ，…，Ｘ＝ １ ，Ｘ ＝ ０ ）
ｔ
１
０
ｔ ＋ １
ｎ
ｎ ＋ １
］［Ｈ（０） － Ｈ （０）］ （２５）
０ ０ １ １
＝［Ｈ（０，０） π ０ ＋ Ｈ（１，０） π １
ｎ ＋ １
ｎ
］［Ｈ （１） － Ｈ （１）］
＋ ［Ｈ（０，１） π ０ ＋ Ｈ（１，１） π １ １ １
０
０
化简式（ ２４）和（２５）可得 ＤＡＲＭＡ（１，１）的理论湿游程公式为：
１ １ １ １
Ｐ（Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ） ＝ ∑ Ｈ（ｉ，０） π ｉ ∑ Ｈ（０，ｊ） ＋ Ｈ（ｍ，１） π ｍ ∑ Ｈ（１，ｎ） （２６）
∑
０ １ ０ １ ０ １
ｉ ＝０ ｊ ＝０ ｍ＝０ ｎ ＝０
Ｐ（Ｘ ＝ ０ ，Ｘ ＝ １ ，…，Ｘ＝ １ ，Ｘ ＝ ０ ）
ｔ ＋ １
１
ｔ
０
（２７）
ｎ
ｎ ＋ １
ｎ
ｎ ＋ １
＝Ｐ［Ｗ ＝ ０ ］［Ｈ（０） － Ｈ （０）］ ＋ Ｐ［Ｗ ＝ １ ］［Ｈ（１） － Ｈ （１）］
０ １ １ ０ １ １
ｎ
］；Ｈ（ｊ） ＝
０ ０ ０ ０ ０ ０ １
式中：Ｐ［Ｗ ＝ ０］ ＝ ［Ｈ（０，０） π ０ ＋ Ｈ（１，０） π １ ］；Ｐ［Ｗ ＝ １］ ＝ ［Ｈ（０，１） π ０ ＋ Ｈ（１，１） π １
ｎ
ｎ
Ｈ（ｊ，０） ＋ Ｈ（ｊ，１），ｊ ＝ ０ ，１
１ １
４
— ９ ９ —