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ξ ＝ １ － ｗ ｆ （１３）
槡
籍此，本文发现了一条获得实际共振频率及幅值的全新思路：从自由振动频率比 ｗ及共振频率比
ｆ
ｗ入手，根据式（１３）及式（１０）反求其对应的阻尼比 ξ ，再根据该阻尼比 ξ 应用式（１１）求得共振幅值比
ｒ
ａ及共振幅值 Ａ。
ｒ
ｒ
２．５ 水中运行设备共振幅值确定方法 到目前为止，业界对介质阻尼的认识还不够充分，更难言测
量，阻尼比 ξ 暂无法测量获得，无法直接应用式（１１）计算获得共振幅值比 ａ。设备在真空中固有频率
ｒ
，也无法确定其水中自由振动频率比 ｗ ，故难以
ω ０ 也很难测量，即使已知其水中自由振动频率 ω ｆ，ｗ ｆ，ｗ
应用式（ １３）反求 ξ 并计算共振幅值比 ａ。
ｒ
为该设备固有频
为解决该难题，本文提出一创新思路：假设在空气中所测设备自由振动频率 ω ｆ，ａ
，可通过测量设备在水中及空气中自由振动频率的方法估算水中共振频率及其幅值。具体方法和
率 ω ０
步骤如下：
，假定设备在空气中自由振动频率
（ １）分别测量设备在空气中、水中的自由振动频率 ω ｆ，ａ 及 ω ｆ，ｗ
? 。
ｆ，ｗ
ω ｆ，ａ 为其固有频率 ω ０ ，计算水中自由振动频率比 ｗ ＝ ω ｆ，ｗ ω ｆ，ａ
（２）将 ｗ 代入式（１３）反求水中阻尼比 ξ 。
ｆ，ｗ
（３）将 ξ 分别代入式（１０）、式（１１）计算水中共振频率比 ｗ及水中共振幅值比 ａ。
ｒ ｒ
由于共振频率比 ｗ、共振幅值比 ａ及自由振动频率比 ｗ均为阻尼比 ξ 的函数，前述方法却是在已
ｒ
ｒ
ｆ
知因变量 ｗ基础上反求自变量 ξ ，因此将该估算方法简称为 “反求法”。
ｆ
＝ 的基础上进行的，其可行性可从如下两个方面论证：
该反求法是基于假设 ω ｆ，ａ ω ０
? 接近于 １，与现实比较接近，该假设给
ｆ，ａ
（１）空气的阻尼比 ξ 非常小，自由振动频率比 ｗ ＝ ω ｆ，ａ ω ０
反求法带来附加误差非常小。
（ ２）本研究的目标是求解水中共振幅值比 ａ的最大值，该假设会造成计算的 ａ比理想值大，与目
ｒ
ｒ
标要求一致，还能起到安全裕量作用，说明该假设及基于此的反求法是可行的。
２．６ 反求法适用性讨论 该方法基于线性一自由度简谐振动方程，除适用于线性一自由度简谐振动
外，其余振动的适用性应具体问题具体分析：
（ １）多自由度线性简谐振动，可以应用。因为任何多自由度系统都是由单自由度系统组合构成的，
均可应用该方法通过测量各阶自由振动频率获得其对应的共振幅值比。
（ ２）非线性阻尼振动系统，可以参考应用。尽管假定 Ｒ 为线性阻尼，但黏性阻尼类线性阻尼并非
ｍ
主要成分，随振动速度或位移变化的非线性阻尼是主要成分。非线性阻尼会造成振动阻力随振动幅值
增加而增加，使共振幅值比进一步降低，会更安全。

３ 水轮机模型转轮自由振动频率测试及水中共振幅值估算

水轮机模型转轮水中及空气中自由振动频率测试于 ２０２０年 １月 １５日在中国水利水电科学研究院
水力机械实验室进行。
３．１ 测试设备及方法 被测试设备为混流式水轮机模型转轮，转轮进水边直径 Ｄ ＝ ３６０．９ｍｍ ，转轮
１
叶片及上冠、下环材料均为不锈钢。
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试验采用敲击法进行。转轮共 １４个叶片，选择 １和 ８两个对称布置叶片进行测试。每个叶片布
置 ３个测点，测点由外向内依次标号为 １（离下环 Ｌ?４，Ｌ为叶片出水边长度）、２（离下环 Ｌ?２）、３（离
下环 ２Ｌ?３）。３个测点布置的均为防水型压电加速度传感器，采样频率为 ５０００Ｈｚ。
水中自由振动频率测试在长 ２ｍ、宽 １．５ｍ的矩形水池进行，转轮淹没水深 １００ｍｍ。
３．２ 试验结果
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（１）空气中自由振动频率测试结果。图 ５和图 ６为 １叶片空气中在 １号敲击位置第一次敲击和第
二次敲击的自由振动频率分析结果。图中横坐标为频率，纵坐标为频响相对值，是各测点频响幅值与
各自频响最大幅值之比。

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