Page 114 - 2023年第54卷第6期

２
３
２
式中：ｅ＝－ ｃ ω ＋ ｃ；ｅ＝ ｃ ω ；ｆ ＝－ ｄω ＋ ｄ；ｆ ＝ ｄω － ｄω。
１ ２ ０ ０ １ １ ２ ０ ０ １ ３
当振荡角频率 ω和 “压力管道－ 机组” 子系统的参数已知时，可以求出 “压力管道 － 机组” 子系
统的输入信号 Ｚ 和输出信号 ｑ 的幅值之比。
２
ｕ
２．３ 耦合系统状态空间模型 根据式 （１）（２）（９）（１０）和 （１１）， 可 以 建 立 水 电 站 五 阶 状 态 空 间
模型：
ｄＸ
＝ ＡＸ ＋ Ｒ （１４）
ｄｔ
Ｔ
式中：Ｘ ＝ ［ｑ，Ｚ，ｑ，φ ，μ ］ 为状态变量；Ａ为状态空间矩阵。根据式（１４），可以求得状态矩阵 Ａ
１ ｕ ２
的特征值为：
＝ ＋ ｊ （ｉ ＝ １ ，２，３，４，５） （１５）
λ ｉ σ ｉ ω ｉ
为特征值的虚部。
式中：σ ｉ 为特征值的实部；ω ｉ
根据现代控制理论 ［１６］ ，可以用阻尼比 ζ ｉ 来衡量振荡模式 λ ｉ 的稳定性，阻尼比 ζ ｉ 的表达式可以
写为：

－ σ ｉ
＝ （ｉ ＝ １ ，２，３，４，５） （１６）
ζ ｉ
２ ２
槡 ＋
σ ｉ ω ｉ
越大，振荡模式的收敛速度越快，稳定性越好；如果
如果 ζ ｉ ＞０，说明振荡模式是稳定的，且 ζ ｉ
越小，振荡模式的发散速度越快，稳定性越差。
ζ ｉ ＜０，振荡模式是不稳定的，且 ζ ｉ
３ 水电站系统耦合振荡特性

当调速器参数 ｂ和 Ｔ 取值很小时，此时即使调压室面积取很大（可以将调压室视为水库），耦合
ｔ ｄ
系统仍然是不稳定的，这是由于 “压力管道－ 机组” 子系统的失稳引起的 ［１７］ 。因此，在研究调压室影
响下的输水发电系统稳定性之前，首先需要确保 “压力管道 － 机组” 子系统的稳定性。在本节中，首
先针对 “压力管道－ 机组” 子系统的稳定性，提出耦合振荡域的概念，然后基于特征值分析法和数值
模拟研究水电站系统的振荡特性。
根据式（１２），可以得到 “压力管道－ 机组” 子系统的特征方程为：
２
３
ｄｓ ＋ ｄｓ ＋ ｄｓ ＋ ｄ＝ ０ （１７）
３ ２ １ ０
根据劳斯－ 霍尔维茨稳定性判据，当同时满足 ｄ＞０、ｄ＞０、ｄ＞０、ｄ＞０和 ｄｄ－ ｄｄ＞０五个条件
０ １ ２ ３ １ ２ ０ ３
时，系统是稳定的，否则系统不稳定。对于实际的水电站系统而言，由于 ｄ 和 ｄ 恒大于 ０，因此系
３
０
统稳定只需要满足以下三个条件：ｄ＞０、ｄ＞０和 ｄｄ－ ｄｄ＞０。根据这三个条件，可以得到 “压力管
２
０ ３
１ ２
１
道－ 机组” 子系统稳定的代数判据为：
Ｓ Ｔ
１０ ｗ２
Ｔ＞ （１８）
ｄ
ｇ＋ ｇｂ
０ １ ｔ
Ｓ Ｔ
１０ ｗ２
ｂ＞ （１９）
ｔ
ｇ ２
Ｔ（ｇ＋ ｇｂ）（Ｓ Ｔ － ｇｂ）＜Ｓ Ｔ （Ｓ Ｔ － ｇｂ） － ｂＴＴ ｄ （２０）
２ ｔ
ｔ ａ ｗ２ ０
１０ ｗ２
１０ ｗ２
０
ｄ
１ ｔ
２ ｔ
１０ ｗ２
当式（ １８）—（２０）全部满足时， “压力管道－ 机组” 子系统是稳定的，将满足式（１８）—（２０）的所有
调速器参数的集合称为耦合振荡域。
以下以某实际的水电站为例进行系统的耦合振荡特性研究，系统基本参数如表 １所示。将表 １中
的水电站参数值代入式（１８）—（２０），采用遍历法求解满足式（１８）—（２０）的全部调速器参数组合（ｂ和
ｔ
Ｔ），可以得到耦合振荡域。此外，将表 １中的水电站参数值代入式（１４）中的状态矩阵 Ａ，采用遍历
ｄ
法求解全部调速器参数组合下状态矩阵 Ａ的特征值实部，通过判断特征值实部是否全部小于 ０可以得
到系统的稳定域，结果如图 ２所示。
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