Page 20 - 2024年第55卷第6期

图中的 １∶１（即 ｙ ＝ ｘ）参考线即为理论分布模型对应的曲线，若参考线通过式（８）所示 Ｑ － Ｑ图的点群
（尤其是历史洪水点群）中心，则表明分布模型对经验频率的拟合效果越好。作为拟合频率曲线与经验
点据之间离差的量度，适线准则根据洪水系列的误差规律，可分为绝对值和最小准则、平方和最小准
则等 ［２］ 。鉴于直线拟合 的 性 质，本 文 采 用 “规 范” 推 荐 的 离 差 平 方 和 （Ｓｕｍ ｏｆＳｑｕａｒｅｓｏｆＤｅｖｉａｔｉｏｎ，
ＳＳＤ）最小准则，求解时变 Ｐ － Ⅲ型分布的广义可加模型参数：
ｎ ＋ ａ － ｌ
－ １
－ １
∑
ｚ
ｍｉｎＳＳＤ ＝ ［Ｇ （ｚ α ，β ） － Ｇ （ 珓 α ，β ）］ ２ （９）
ｔ
ｔ
ｔ ＝１
由于年最大洪水系列样本一般较长，且水库初设阶段的设计洪水没有受到上游水库调蓄影响，因
此可采用初设设计洪水估计参数 ［１６］ 作为时变 Ｐ － Ⅲ型适线法的初估值。
２．３ 极大似然法 极大似然法通过最大化概率分布的似然函数进行参数估计，是求解时变矩模型最常
用的方法之一 ［１０ － １１］ 。当考虑历史洪水资料时，通常假设 ｎ － ｌ项实测系列与除 ａ项特大洪水外的 Ｎ － ａ项
系列的同阶矩一致，可得出 ｎ － ｌ项实测系列与 Ｎ － ａ项系列的似然函数的几何平均相等 ［３］ ，则最大化对
数似然函数 ｌｎＬ可表示为：
ａ Ｎ － ａ ａ ＋ ｎ － ｌ
ｍａｘｌｎＬ ＝ ｌｎｆ（ｙ ＲＩ；Ω ） ＋ ∑ ｌｎｆ（ｙ ＲＩ；Ω ） （１０）
∑
ｔ
ｔ
Ｙ ｔ
Ｙ ｔ
ｔ ＝１ ｎ － ｌ ｔ ＝ ａ ＋ １
小于 １（见式（５）），此时似然
由于概率密度函数的性质，当 Ｃ≥ ２．０时 Ｐ － Ⅲ型分布的形状参数 α ｔ
ｓ
方程式（ １０）的解并不包括 ｙ ≤ａ的情况，该问题能够通过数值优化的方式逼近求解 ［３］ 。
ｔ ０ｔ
基于参数初估值，适线法和极大似然法分别以式（ ９）（１０）为目标函数进行优化，为减少优化方法
对计算结果的不确定性，采用相同的优化算法求解。由于 Ｐ － Ⅲ型分布参数对频率曲线的尾部敏感性，
采用迭代搜索算法可能难以取得较优成果 ［３］ 。本研究采用遗传算法求解 ［２３］ ，设置遗传算法种群数量
为 １００个，进化代数为 ２００代，最后可得到时变 Ｐ － Ⅲ型分布参数对应的广义可加模型的参数集合 Ω 。
２．４ 模型诊断评估
１）Ｋ － Ｓ检验。Ｋ － Ｓ检验（Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ － Ｓｍｉｒｎｏｖｔｅｓｔ）是一种基于累积分布函数的非参数假设检验方
法，可用于初步检验两个经验分布是否不同 ［２３］ 。本文用于检验理论分布模型的分布函数 Ｚ 是否服从
ｔ
标准均匀分布，即以 Ｚ～Ｕ（０，１）为原假设，取显著性水平为 ０．０５、当 Ｋ － Ｓ检验的 ｐ值大于 ０．０５则接
ｔ
受原假设。若接受原假设，则说明式（ ７）所示理论基础成立，可以采用时变 Ｐ － Ⅲ型适线法估计参数。
２）赤池信息准则。赤池信息准则（ＡｋａｉｋｅＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＣｒｉｔｅｒｉｏｎ，ＡＩＣ） ［２４］ 是评估统计模型复杂度和
拟合优度的标准，ＡＩＣ值越小，说明分布模型频率曲线对经验点据的拟合效果越好。由于 “规范” 以
实测经验点据与理论分布模型的离差衡量分布参数的拟合效果，通常假设离差服从均值为零的独立正
态分布，则 ＡＩＣ可表达为：
ｎ ＋ ａ － ｌ
－ １
∑ （ｙ－ Ｆ （ 珘 （ｙ） ＲＩ；Ω ）） ２
Ｆ
ｔ
ｔ
Ｙ ｔ
Ｙ ｔ
ｔ ＝１
ＡＩＣ ＝ ２ｋ ＋ （ｎ ＋ ａ － ｌ）ｌｎ （１１）
ｎ ＋ ａ － ｌ
式中 ｋ为广义可加模型参数集合 Ω中参数的数量。
３）分位曲线图。该图可直观评价洪水实测样本点位于理论时变矩模型估计百分位区间内的整体状
况 ［１７］ ，分析时变矩模型对实测点据的概率覆盖率。百分位数 ｐ对应的洪水峰量估计值 ＾ｙ计算式为：
ｔ
ｙ ｔ － １ （１２）
＾ ＝ Ｆ （ｐＲＩ；Ω ）
Ｙ ｔ
３ 三峡水库运行期非一致性洪水频率分析
３．１ 长江上游大型梯级水库群
３．１．１ 梯级水库群概述 截至 ２０２２年，长江上游已建成水库 ４万多座，其中大型水库 ３００余座。本研
究考虑长江上游干支流 ２９座重点大型水库，其特征参数见表 １，图 １绘出长江上游干支流 ２９座重点
大型梯级水库概化图。

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