Page 19 - 2024年第55卷第6期

２
式中：Ｊ为研究断面以上的大型水库数量，ｊ ＝ １，２，…，Ｊ；Ａ和 Ｖ分别为第 ｊ座水库的集水面积（ｋｍ ）和
ｊ ｊ
２
３
３
总库容（ ｍ ）；Ａ和 Ｒ分别为研究断面集水面积（ｋｍ ）和多年平均径流量（ｍ ）。
以水库系数 ＲＩ为分布参数的协变量，时变 Ｐ － Ⅲ型分布的概率密度函数表达式为：
α ｔ
β ｔ
α ｔ － １ － β ｔ （ｙ ｔ － ａ ０ｔ ）
ｆ（ｙ ＲＩ；Ω ） ＝ （ｙ － ａ ） ｅ （５）
Ｙ ｔ ｔ ｔ ０ｔ
Γ （ α ｔ ）
＞
０ｔ
式中：Γ （·）为伽马函数；ａ 、β ｔ 和 α ｔ 分别为时变 Ｐ － Ⅲ型分布的位置、尺度和形状参数，β ｔ ＞０，α ｔ
０ ；ｆ（ｙ ＲＩ；Ω ）为响应变量 ｙ对应的时变 Ｐ － Ⅲ型分布模型的概率密度函数，其中 ＲＩ为协变量，Ω＝
Ｙ ｔ ｔ ｔ
ｉ ＝ ０ ，１，２，…，Ｉ｝。
｛ ω １ｉ ，ω ２ｉ ，ω ３ｉ
基于 ＧＡＭＬＳＳ模型构建时变 Ｐ － Ⅲ型分布参数与协变量的函数关系，需要注意的是：①控制 Ｐ － Ⅲ
受历史洪水的影响较敏感 ［３，１８］ ，且在历史洪水数量较少、历史洪水
型频率曲线尾部行为的形状参数 α ｔ
与 ＲＩ是否有因果关系，通常假
对应年份水库上游并没有受到梯级水库调蓄影响的情况下难以判别 α ｔ
设形状参数为常数 ［１７ － １８］ ；②根据梯级水库对下游水文情势的影响研究 ［９］ ，水库调蓄作用对年最大洪水
－ １
系列的均值具有一定的削减效果，根据位置、尺度参数与样本总体均值的关系 ＥＹ ＝ αβ ＋ ａ 可知，均
０
－ １ ［２１］
０ｔ
值与位置参数和尺度参数的倒数成正比，可将 ａ 和 β ｔ 表示为 ＲＩ的函数 ；③为了符合样本空间限
制、便于参数 估计，链接 函数 ｇ （·）、ｇ（·）选择自 然 对 数函 数 ｌｎ（·），而 ｇ（·）选 择 恒 等 函
ａ ０ β α
数 ［８，２１］ 。综上所述，设 Ω ＝ ｛ ω １０ ，ω １１ ，ω ２０ ，ω ２１ ，ω ３０ ｝为时变 Ｐ － Ⅲ型分布中的广义可加模型参数集合，
与协变量的关系可表达如下：
０ｔ
则时变 Ｐ － Ⅲ型分布参数 ａ、β ｔ 、α ｔ
＋ － １ － １ ＋ （６）
ｇ （ａ） ＝ｌｎ （ａ） ＝ ω １０ ω １１ × ＲＩ；ｇ（ β ｔ ） ＝ｌｎ （ β ｔ ） ＝ ω ２０ ω ２１ × ＲＩ；ｇ（ α ｔ ） ＝ α ＝ ω ３０
０ｔ
β
α
０ｔ
ａ ０
２．２ 时变 Ｐ － Ⅲ型适线法 我国 “规范” 推荐采用 Ｐ － Ⅲ型分布频率曲线与适线法估算设计洪水。然而
在非一致性条件下，适线法无法体现统计参数的时变特征。虽然时变 Ｐ － Ⅲ型分布参数并不固定，但
是其累积分布函数 Ｆ （ｙ ＲＩ；Ω ）依然随着 ｙ增大而单调递增，令 Ｚ＝ Ｆ （Ｙ ＲＩ；Ω ）为在（０，１）内取
Ｙ ｔ ｔ ｔ ｔ Ｙ ｔ ｔ
值的随机变量，当 ｚ ≤０时 Ｆ （ｚ） ＝０ ；当 ｚ ≥１时 Ｆ （ｚ） ＝１ ；当 ０＜ｚ＜１时，有：
ｔ
ｔ
ｔ
ｔ
ｔ
Ｚ ｔ
Ｚ ｔ
－ １
－ １
Ｆ （ｚ） ＝Ｐ（Ｆ （Ｙ） ≤ｚ ＲＩ；Ω ） ＝Ｐ（Ｙ≤Ｆ （ｚ ＲＩ；Ω ）） ＝Ｆ （Ｆ （ｚ ＲＩ；Ω ） ＲＩ；Ω ） ＝ｚ （７）
Ｚ ｔ ｔ Ｙ ｔ ｔ ｔ ｔ Ｙ ｔ ｔ Ｙ ｔ Ｙ ｔ ｔ ｔ
则 Ｆ （ｙ ＲＩ；Ω ）～Ｕ（０，１）。
Ｙ ｔ ｔ
以式（ ７）为理论基础，本文将实测洪水样本的经验频率点据分位数与时变 Ｐ － Ⅲ型分布的理论分布
分位数进行拟合，采用适线法估算时变 Ｐ － Ⅲ型分布参数，具体步骤如下：
１）计算洪水峰量的理论与经验累积概率。由式（７）可知，随机变量 Ｚ的理论累积概率等于其本身，
ｔ
即 Ｆ （ｚ） ＝ｚ，由 Ｚ＝ Ｆ （Ｙ ＲＩ；Ω ）可知 ｚ ＝ Ｆ （ｙ ＲＩ；Ω ），即 Ｆ （ｚ） ＝Ｆ （ｙ ＲＩ；Ω ）。同理可得随
Ｚ ｔ ｔ ｔ ｔ Ｙ ｔ ｔ ｔ Ｙ ｔ ｔ Ｚ ｔ ｔ Ｙ ｔ ｔ
机变量 Ｚ的经验累积概率 珘 （ｚ） ＝珘 （ｙ），后者可根据洪水峰量的具体数值 ｙ在不连序洪水系列中的
Ｆ
Ｆ
ｔ
ｔ
ｔ
ｔ
Ｙ ｔ
Ｚ ｔ
量级，按从大到小排序后，特大洪水采用式（ １）、实测洪水采用式（２）计算。
２）点绘理论与经验累积概率 Ｑ － Ｑ图。Ｑ － Ｑ图（Ｑｕａｎｔｉｌｅ － Ｑｕａｎｔｉｌｅｐｌｏｔ）通过两个概率分布的分位数
来比较两者概率图，能够作为一种 图形 方法 估计位 置 － 尺度 分布 族 （Ｌｏｃａｔｉｏｎ － ｓｃａｌｅｆａｍｉｌｙ）的 分布参
数 ［２２］ 。而 Ｐ － Ⅲ型分布属于位置－ 尺度分布族 ［２２］ ，因此可以采用 Ｑ － Ｑ图比较评价年最大洪水经验频率
和时变 Ｐ － Ⅲ型概率分布分位数的拟合效果，以判断两组数据的分布是否一致。为满足洪水频率分析
侧重观察右尾极端事件 ［３］ 的要求，可通过改变 Ｑ － Ｑ图坐标轴尺度使尾部频率间隔更加稀疏。由于伽
马分布与 Ｐ － Ⅲ型分布的特性近似，本文采用伽马分布的逆累积分布函数作为坐标尺度，将式（８）所示
长度为 ｎ ＋ ａ － ｌ的不连序序列点绘坐标图中得到 Ｑ － Ｑ图：
－ １
－ １
ｚ
｛Ｇ （ 珓 α ，β ），Ｇ （ｚ α ，β ）；ｔ ＝ １，２，…，ｎ ＋ ａ － ｌ｝ （８）
ｔ ｔ
－ １
式中：Ｇ （ｚ α ，β ）为分布函数值等于 ｚ时伽马分布的逆累积分布函数；α 、β分别为伽马分布的形
ｔ
ｔ
状、尺度参数。为了使伽马分布保持密度曲线呈铃形且右偏的性质、能侧重考虑历史洪水点据的拟
合，α 、β 与水库初设设计洪水成果 ［１６］ 中 Ｐ － Ⅲ型频率曲线的形状、尺度参数一致。
３）采用适线法估计参数。“规范” 规定 “适线时，要尽量照顾点群的趋势，使曲线通过点群中
心。如点线配合不佳时，可侧重考虑上部和中部的点据，并使曲线尽量靠近精度较高的点据”。Ｑ － Ｑ
— ６ ４ ５ —