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当剪切和“帽盖”屈服面同时屈服时，则应变增量 Δε 包含弹性应变增量 Δε 、塑性剪切应变增量
e
Δε 及 塑 性 压 缩 应 变 增 量 Δε 。 由 弹 性 损 伤 矩 阵 [ C d ] 与 弹 性 应 变 增 量 { Δε n + 1 }， 结 合 广 义 流 动 法 则
ps
pv
e
{ Δε p } = Δλ { ∂Q /∂σ }，可得：
s，v s，v s，v
{ Δσ } = [ C d ] { Δε } - [ C d ] Δλ s{ } - [ C d ] Δλ v{ }
∂Q s
e
e
e
∂Q v
∂σ ∂σ （27）
式中 Δλ 、Δλ 分别为剪切、压缩屈服时的塑性乘子，反映了增量步内塑性应变的量级。
s
v
对于土体本构模型，当某点的应力状态超过初始屈服面后，其应力点将落在因塑性硬化而外扩的
屈服面上 （见图 5），因此，当材料处于塑性状态且两个屈服面同时作用时，应力状态均满足一致性
［41］
条件 ΔF (σ n + 1 ，H n + 1 ) = 0，亦即：
s，v
ì T T
ï ï { } { }
∂F s
∂F s
ïΔF s = { Δσ } + { ΔH s } = 0
ï ∂σ ∂H s
ï ï
í （28）
ï ï ΔF v = { } T { Δσ } + { } T { ΔH v } = 0
ï
ï
∂F v
∂F v
ï ï
∂σ
î
将式（27）代入式（28）并整理可得： ∂H v
ìΔλ s = ( L vv T s - L sv T v )/ ( L ss L vv - L sv L vs )
í （29）
î Δλ v = ( L ss T v - L vs T s )/ ( L ss L vv - L sv L vs )
将式（29）代入式（27）中，可得双屈服面同时屈服时的弹塑性刚度矩阵表达式 ［42］ ：
T
e é - L sv{ }} { }{ T ù
[ C d ] ê ê{ }{ L vv{ } L ss{ } ú ú
e
ep e ê ê ∂Q s ∂F s ∂F v ∂Q v ∂F v ∂F s [ C d ] （30）
[C d ] = [ C d ] - + - L vs{ }} ú ú
( L ss L vv - L sv L vs ) ë ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ û
（2）应力更新算法。求解常微分方程（｛Δσ ｝= ［C d ］｛Δε ｝）是 UMAT 子程序的主要任务，向量
ep
n+1 n+1
｛Δε ｝是 ABAQUS 提供给 UMAT 的已知量，向量｛Δσ ｝为待求未知量，而式（30）中矩阵 C d 为 UMAT 进
ep
n+1 n+1
［41］
行积分求解并传递给 ABAQUS 的雅可比矩阵 （Jacobian Matrix），雅可比矩阵 C d 影响模型数值求解的
ep
精度和收敛性。雅克比矩阵的数值积分方法主要有欧拉法、中值法和 Runge-Kutta 法，考虑计算速度
和计算精度，本文采用四阶 Runge-Kutta 法进行应力更新 ［30］ ，具体求解步骤见图 6（b）。
( ( ( n + 1 ) k ) )
*
（3）损伤变量更新。对 n+1 步下的最大主应变 ε 进行更新，并由式（31）对损伤变量 D 更新：
1
* ε 1 - ε 1d
D n + 1 = η rf 1 - exp - λ （31）
根据第 n + 1 步损伤值，可对弹性损伤矩阵进行更新，即：C e = (1 - D n + 1 )C ，进一步可对屈
*
e
d，n + 1
服函数及应力计算结果进行修正更新。基于上述弹塑性损伤本构模型的积分算法推导，利用 UMAT 子
程序对该本构模型进行了数值实现，实现流程见图 6，其中程序通过 Fortran 语言编制完成。另外，在
实现流程中采用模块化编程可以有效减少代码的冗杂性，提高代码的可读性。
3.2 塑性混凝土试验
（1）试验概况。本试验采用具有伺服控制的 SY250 型应变式三轴仪，如图 7 所示。塑性混凝土三轴
试验采用 150 mm × 300 mm 的圆柱体试件，共制作了 10 组不同配合比的塑性混凝土试件 30 个。本次三
轴试验采用定侧压，围压预设值分别为 0.2、0.4、0.6 MPa，试验过程中，先施加围压至预定值不变，
再施加轴向压力至试件破坏，记录试件破坏形态并确定最大轴向应力。重复上述操作步骤，得到不同
围压对应的轴向应力。轴向荷载以位移形式加载，加荷速率 0.4 mm/min，试验结果中轴向应力-应变
关系曲线的峰值点应力对应三轴抗压强度。
（2）试验结果。在三种围压下对 10 组塑性混凝土配合比进行三轴试验，得到的力学参数如表 1
所示。
3.3 本构模型子程序验证 上述模型编程实现后，对其准确性进行验证。通过有限元模拟塑性混凝土
三轴试验并与试验结果进行对比，以验证该模型在 ABAQUS 中二次开发的准确性与有效性。
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