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HS 模型是由 Schanz 等 ［33］ 基于双曲线形式的 Duncan-Chang 模型结合 Vermeer 双硬化模型扩展而建
立的弹塑性模型。弹性阶段该模型通过采用双刚度模量来描述土体在加荷与卸荷路径下的非线性弹性
行为；塑性阶段采用剪切与体积两种屈服函数及其对应的硬化机制来描述材料硬化、剪胀等力学
特征。
（1）塑性部分。HS 模型与修正 D-P 模型 ［34］ 、修正
Lade 模型 ［35］ 类似，均在剪切屈服准则中融合了“帽
［33］
盖”机制 （见图 3），以此引入体积塑性效应。
剪切屈服函数 F 表达式为：
s
q 2q
q a
F s = - - γ p （15）
E 50 q a - q E ur
其中 q 为材料抗剪强度的渐进偏应力，其表达式为：
a
q a = q f /R f = [ 2sinφ (c cot φ + σ 3 )/( 1 - sin φ ] ) /R f （16）
式 中 ： q 为 偏 应 力 ， q = σ 1 - σ 3 ； q f 为 由 Mohr-
Coulomb 强 度 理 论 计 算 所 得 极 限 偏 应 力 ； R f 为 破 坏
p p
比；塑性剪应变 γ 为剪切屈服面的硬化参数，γ = 图 3 主应力空间中 HS 模型屈服面
，E 50 为
p p p ref ref
ε 1 - ε 2 - ε 3 ；E 50 为加载模量，E 50 = E 50 ⋅ C σ 3
ref ref ref ；E 50 、E ur
参考围压 σ 下的加载模量（σ 一般取 100 kPa）；E ur 为卸载再加载割线模量，E ur = E ur ⋅ C σ 3
σ 3 + c cot φ ) m
= 。
( σ ref + c cot φ
，C σ 3
具有应力相关性的特征，其特征系数是与围压相关的系数 C σ 3
“帽盖”段屈服函数 F 表达式为：
v
2 2 2 2 （17）
F v = q ͂ /M + p - p c
式中：q ͂ 为偏应力的度量，q ͂ = σ 1 + ( δ - 1)σ 2 - δσ 3 ，δ = (3 + sin φ)/ (3 - sin φ)；M 为摩擦常数，M =
6sinφ/ (3 - sin φ)； p 为平均应力；p 为先期固结应力。“帽盖”屈服面以 p 作为硬化参数，其计算公
c c
式为：
)
m
dp c = H[( σ 3 + c cot φ /( σ ref + c cot φ )] dε v p （18）
式中：dε v = dε 1 + dε 2 + dε 3 ，为“帽盖”屈服面所产生的塑性体应变增量；硬化模量 H 由卸载再加载
p
p
p
p
参考模量 E ur 、切线参考模量 E oed 与土体侧向系数 k 确定 ［13，3］ ，k = 1 - sinφ ［36］ ；m 为刚度应力幂指数。
3
ref
ref
0 0
剪切变形过程中，塑性流动方向通常与屈服面的法线方向不一致，因此，剪切屈服面塑性势函数
采用非关联流动法则 ［33］ ，其定义为：
) )
Q s = [( σ 1 - σ 3 - ( σ 1 + σ 3 sin ψ m ] /2 （19）
其中，
ìsin ψ m = (sin φ m - sin φ cv )/ (1 - sin φ m sin φ cv )
ï ï
ï ï
í sin φ m = (σ 1 - σ 3 )/ (σ 1 + σ 3 + 2c cot φ) （20）
ï ï
î
ï ï sin φ cv = (sin φ - sin ψ)/ (1 - sin φ sin ψ)
式中：ψ 为剪胀角；ψ 为机动剪胀角；φ 为机动摩擦角；φ 为临界摩擦角。“帽盖”屈服面因采用相
m m cv
关联流动法则，其塑性势函数表达式与式（17）相同。
（2）损伤部分。需要注意的是，上述推导均在经典塑性理论下进行，并未考虑损伤的影响。在经
典损伤力学中，根据 Lemaitre 应变等价性假设，将原始无损伤材料应力-应变关系的应力当作有效应
力 ［37］ ，有效应力 σ ͂ 定义为：{ σ ͂ } = { σ } / (1 - η rf D)，则考虑损伤效应的应力-应变关系为：
{ σ } = (1 - η rf D) [ C ] ε = [ C d ] ε e （21）
e
e
e
e
e
*
e
e
式 中 ： ε 为 弹 性 应 变 张 量 ； C 、 C d 分 别 为 弹 性 矩 阵 和 损 伤 弹 性 矩 阵 ， [ C d ] = 2G (D ) [ I ] +
K (D ) [ I ] ⊗ [ I ]，I 为四阶对称张量，(I ) ijkl = 1/2( δ ik δ jl + δ il δ jk )；G (D )、K (D ) 分别为损伤剪切模量和
*
*
*
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