Page 64 - 2025年第56卷第8期

链可以看出，转移概率密度 f 共 9 个元素，组成三阶方阵
αβ
如下：
ê ê ê é f 11 f 12 f 13 ù ú ú ú
ê
ê ê ê ú ú ú
{ f αβ} = ê f 21 f 22 f 23 ú ú （2）
f
ë 31 f 32 f 33 û
在上列矩阵中，f 、f 分别为冲刷坑下游河床向冲刷
31 32
坑内和冲刷坑混合边缘的状态转移概率，考虑到塔基下游
的 水 流 速 度 矢 量 一 般 是 正 向 的 ， 则 f = f = 0。 又 由
31 32
f αβ = 1 可知，f = 1。 图 5 特征控制体内状态转移链
3
∑ β = 1 33
2.3 状态转移概率 一定水流条件下泥沙的起动、起跃、
起悬都具有一定的概率。根据泥沙运动统计理论，泥沙在水流中运动的转移概率基本可以用起动概
率、跃移概率、悬移概率及止动概率等 4 个基本概率进行表达 ［24］ ，因此，理论上依据纵向水流速度与
颗粒不同运动状态转化临界值的比对关系，通过状态转移概率的分布形式，分析基本概率与状态转移

概率之间的关系，可以得到位置状态转移概率密度的基本表达式。不过由于颗粒起动与位置转移均具
有随机性，且位置状态转移概率分布形式尚不清晰，求取二者之间的关系比较困难。目前可行的途径
是基于河流动力学，根据物理图像分析时均状态转移概率可能的表达结构，并通过试验资料确定其相
关系数。
从物理模型试验及数值模拟结果分析可知，塔基局部冲刷坑的形成主要是由水流垂向与纵向流速
共同作用下形成横轴旋涡将特征控制体内泥沙不断转移的结果，因此塔基附近的垂向与纵向水流紊动
强度是造成局部冲刷的主要影响因素。分析可知，f 12 与 f 13 是位置状态转移概率中较重要的基本转移概

率，若床面附近水流速度的纵向分速与垂向分速互不相关，则泥沙位置状态转移概率密度可以表示
为：f 12 = ε 1( δ V /ω) ，f 13 = ε 2( δ U /V C) ；又考虑到 f 21 与 f 12 的直接影响因素是相同的，二者之间存在一定的
线性关系，可记作 f 21 = ζ 1 f 12 ，同理 f 23 = ζ 2 f 13 ；其中 δ 为水流垂向紊动强度；ω 为颗粒沉速；V 为床面
V
c
泥沙临界起动流速；δ 为水流纵向紊动强度；ε 1，2 为转移系数；ζ 1，2 为同种因素转移概率间相关系数。
U
事实上，位置状态转移概率的物理意义是纵向或垂向水流紊动强度与颗粒自身在水中的特性的比
值，表示位置状态转移可能发生的几率。根据试验观察统计，可初步确定 ε 与 ζ 的值，从而得到每
1，2 1，2
一个转移概率密度函数的表达式，进而求取时均转移概率矩阵 ｛f ｝。进而可得，当水力条件与床沙
αβ
特性已知，相关参数代入表达式，f 具有唯一性。f 与 f 确定后可得到如下转移概率矩阵：
αβ
13
12
ê ê é 1 - f 12 - f 13 f 12 f 13 ù ú ú
{ f αβ} = ê ê ζ 1 f 12 1 - ζ 1 f 12 - ζ 2 f 13 ζ 2 f 13 ú ú （3）
ê ê ú ú
ë 0 0 1 û
2.4 平均动力方程 定义冲刷前冲刷坑所在特征控制体体积为 V BT ，历时 T 冲刷稳定后冲刷坑体积为
V T 。假设每个质点在 t 时刻的运动状态是独立的，则根据随机理论中柯尔莫哥洛夫前进方程，对于单
颗泥沙存在以下等式关系：
dP α (t) 3 3 （4）
dt = -∑ f αβ P α (t) + ∑ f βα P β (t) (α ≠ β )
β = 1 β = 1
式中 P（t）为任意一颗泥沙质点在时刻 t 处于状态 S 的概率（i = α 或 β）。由式（4）可得特征控制体内所有
i
i
N 颗泥沙的柯尔莫哥洛夫方程为：
3 3
dm α = -∑ f αβ m α + ∑ f βα m β (α ≠ β ) （5）
dt
β = 1 β = 1
上式即各位置状态的平均动力方程。对于 S 、S 、S 等 3 种位置状态，平均动力方程组为：
1 2 3
— 1028 —