Page 65 - 2025年第56卷第8期

ï ï = -( f 12 + f 13 )m 1 + f 21 m 2 (6)
ì dm 1
ï ï dt
í = -( f 21 + f 23 )m 2 + f 12 m 1 (7)
ï ï dm 2
ï dt
ï
ï
ï ï = f 23 m 2 + f 13 m 1 (8)
ï dm 3
î dt
在初始时刻 t = 0 时，m = m = 0，m = N，且任意时刻 t 满足 m + m + m = N。
2 3 1 1 2 3
3 研究结果

根据相关定义，对特征控制体内所有泥沙位置状态下平均动力方程组求解，可得到冲刷平衡后各
位置状态下泥沙转移的数量期望值；根据质量守恒定律可得到塔基周围局部冲刷深度的解析公式。
3.1 局部冲刷深度公式 根据定义，时均位置状态转移概率密度 f 为常数。式（7）两端对 t 求导，得
αβ
2
d m 2 = -( f 21 + f 23) dm 2 dm 1 （9）
dt 2 dt + f 12 dt
将式（6）代入式（9），得
= -( f 21 + f 23)
2
d m 2 dm 2 + f 12[ - ( f 12 + f 13 )m 1 + f 21 m 2] （10）
dt 2 dt
再将式（7）代入式（10）并化简，得
2 ( f 12 + f 13 + f 21 + f 23)
2
d m 2 + dm 2 + ( f 12 f 23 + f 13 f 21 + f 13 f 23 )m 2 = 0 （11）
dt dt
令 a ∗ = 0.5( f 12 + f 13 + f 21 + f 23) ，b * = f 12 f 23 + f 13 f 21 + f 13 f 23 ，则式（11）可写为
2
2
2
d m 2 dm 2 + b * m 2 = 0 （12）
dt 2 + 2a ∗ dt
已知初始条件 m 2t| t = 0 = 0，令 dm 2 | t = 0 = M 20 并代入式（12）解得
dt
-a ∗ t
M 20 e ( a * - b * t - a * - b * t )
2
2
2
2
m 2 = e - e （13）
2 2
2 a * - b *
式（13）对 t 求导得 dm 2 ，所得式子同式（13）一起代入式（7），得
dt
-a ∗ t
M 20 e é ( a * - b * t - a * - b * t 2 ) ( a * - b * t - a * - b * t ) ù ú ú ú ú
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m 1 = ê ê ê ê ( f 21 + f 23 - a ∗ ) e - e + a * - b * e + e （14）
2 2 ë û
2f 12 a * - b *
将 m 1t| t = 0 = N 代入上式得 M 20 = f 12 N，由式（13）（14）知
2
2
2
m 2 ê é ê ê e a * - b * t 2 + e - a * - b * t ù ú ú ú
2
m 1 = ê ê ê ( f 21 + f 23 - a ∗ ) + a * - b * 2 2 ú ú ú （15）
2
ë e - e û
2
f 12 a * - b * t 2 - a * - b * t
当冲刷稳定所需时间为 T，m 1t| t = T = M 1T ，m 2t| t = T = M 2T ，冲刷坑在稳定后被水流挟带离开特征控
制体的泥沙数量为 M PT = N - M 1T ，则式（15）可转化为
2
2
2
2
M 2T ê é ê ê e a * - b * t + e - a * - b * t ù ú ú ú
2
M 1T = ê ê ê ( f 21 + f 23 - a ∗ ) + a * - b * 2 2 ú ú ú （16）
2
2
2
ë e - e û
f 12 a * - b * t - a * - b * t
f 12 N ( a * - b * )T a * - b * )T )
2
2
2
2
M 2T = e (-a ∗ + - e (-a ∗ - （17）
2
2 a * - b * 2
2 2
K 1 a * - b * + f 21 + f 23 - a ∗
M PT = N (1 - ) （18）
2 2
2K 2 a * - b *
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