Page 66 - 2022年第53卷第12期

式中：α为二次惩罚因子；λ为拉格朗日乘子。λ （ｔ）为 λ在第 ｔ时刻的值；ｘ（ｔ）为 ｘ在第 ｔ时刻的值。
利用交替方向乘子迭代算法求解式（ ２）的鞍点。
２．２ 支持向量机 ＳＶＭ模型建立在 ＶＣ维（Ｖａｐｎｉｋ － ＣｈｅｒｖｏｎｅｎｋｉｓＤｉｍｅｎｓｉｏｎ）理论的基础上，并基于结
ｎ
构风险最小化原理求解分类和回归问题。假设一组给定的训练样本集：｛（ ｘ，ｙ）｝ ，其中 ｘ为第 ｉ个
ｉ
ｉ
ｉ ＝ １
ｉ
输入向量，ｙ为输出值，ｎ为训练样本集的样本容量。ＳＶＭ回归函数为：
ｉ
ｙ ＝ ｗ φ （ｘ） ＋ ｂ （３）
式中：ｗ为权重向量；φ （ｘ）为映射函数；ｂ为偏置向量。
根据结构风险最小化原理，式（３）的求解可转化为求解以下最小化问题：
１ ｎ
２
ｍｉｎＪ（ｗ，ｅ） ＝ ｗ ＋ Ｃ ∑ ｅ ２ （４）
ｉ
２ ｉ ＝１
Ｔ
式中：Ｃ为惩罚因子；ｅ ＝ ［ｅ，ｅ，…，ｅ］为误差变量。
１ ２ ｎ
引入拉格朗日函数和对偶理论，并用核函数代替式（３）的映射函数，可得到：
ｎ

－ ）Ｋ（ｘ，ｘ） ＋ ｂ
ｆ（ｘ） ＝ ∑ （ α ｉ α ｉ １ ｉ （５）
ｉ ＝１

１
式中：α ｉ 和 α ｉ 为拉格朗日乘子；Ｋ（·）为核函数。
核函数的选取对 ＳＶＭ的计算精度至关重要。常用的核函数有线性核函数、多项式核函数、径向
基（ ＲａｄｉａｌＢａｓｉｓＦｕｎｃｔｉｏｎ，ＲＢＦ）核函数和 Ｓｉｇｍｏｉｄ函数。ＲＢＦ核函数对于大小样本都具有较高的计算精
度，学习能力强，参数也相对较少。因此，本文选用 ＲＢＦ核函数，如式（６）所示。
２
Ｋ（ｘ，ｘ） ＝ｅｘｐ （ － γ ｘ－ ｘ ） （６）
１ ｉ ｉ
式中 γ为 ＲＢＦ核函数参数。
因此，对于 ＳＶＭ模型，主要的待求参数有惩罚因子 Ｃ和核函数参数 γ 。
２．３ 核密度估计 ＫＤＥ是一种非参数估计方法，可直接计算样本的概率密度，无需事先假设其分布。
Ｎ
对于一组样本数据｛ｘ｝ ，ＫＤＥ的表达式为：
ｊ ｊ ＝ １
１ Ｎ ｘ － ｘ
＾ ∑ Ｋ ２ ( ) （７）
ｊ
ｆ （ｘ） ＝
Ｎｈ ｊ ＝１ ｈ
式中：Ｎ为样本长度；ｈ为带宽；Ｋ（·）为核函数。
２
核函数和带宽的选择对 ＫＤＥ计算影响较大。本文选用高斯核函数，公式为：
( ) １ ( （ｘ － ｘ） ２
２ )
ｘ － ｘ
ｊ
ｊ
Ｋ ２ ｈ ＝ ２ π ｅｘｐ－ ２ｈ （８）
槡
对应的带宽公式为：
１
－
ｈ ＝ １ ．０６ＳＮ ２ （９）
式中 Ｓ为样本的标准差。
３ 模型构建

本文提出的 ＶＭＤ － ＳＶＭ－ ＫＤＥ － ＴＳＣＰＳＯ模型的总体 框架 如图 １所示。基 于 ＴＳＣＰＳＯ优 化 算法的
ＶＭＤ － ＳＶＭ－ ＫＤＥ逐步分解集成（ＶＭＤ － ＳＶＭ－ ＫＤＥ － ＴＳＣＰＳＯ）模型的构建步骤包括以下两步。第一步，
根据 ＶＭＤ － ＳＶＭ模型获取点预测结果。具体步骤为：将径流序列划分为率定期、测试期和验证期，使
用 ＶＭＤ方法逐步分解率定期和测试期的径流序列获得子序列，根据这些子序列确定 ＳＶＭ模型的输入
输出序列，并用 ＴＳＣＰＳＯ优化算法综合求解 ＶＭＤ － ＳＶＭ模型的未知参数，最后，根据 ＶＭＤ － ＳＶＭ模型
计算点 预 测 值。第二步，根 据点预 测误 差，采用 ＫＤＥ方 法计 算 区 间预 测 结 果。ＶＭＤ － ＳＶＭ－ ＫＤＥ －
ＴＳＣＰＳＯ模型的具体构建步骤如下。
３．１ 数据划分 首先，将径流序列 ｘ（ｔ）（ｔ ＝ １ ，２，…，Ｎ）划分为训练期 ｘ（ｔ）（ｔ ＝ １ ，２，…，Ｔ）和验
Ｔ
５
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