Page 86 - 2022年第53卷第12期
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ｘ）为模糊变量 珓 模糊熵；μ ′（ 珓 ＝
式中：Ｈ（ｘ）为随机变量 ｘ的概率熵；ｆ（ｘ）为其概率密度函数；Ｇ（ 珓 ｘ的 ｘ）
ｘ）
μ （ 珓 珓
μ （ 珓 ∫ ｘ）ｄｘ，其中，μ （ 珓 ｘ的隶属函数。
ｘ）为模糊变量 珓
根据式（ ３）建立将模糊变量转化为随机变量的转换式为
ｘ）
Ｈ（ｘ） ＝Ｇ（ 珓 （４）
正态分布为实际工程中最为常见的分布类型，对于均值为 ｍ、标准差为 σ的正态随机变量 ｘ，其
０
ｘ可转化为正态分布的随机变量 ｘ ，且等效随
概率熵 Ｈ ＝ ２ ! ｅ σ 。为简化计算，将式（１）中模糊变量 珓
０ 槡
机变量 ｘ 的标准差为
１
Ｇ － ０ ．５
σ ＝ ｅ （５）
槡 ２ !
ｘ的模糊熵。
式中 Ｇ为模糊变量 珓
对于均值 ｍ ，可采取如下做法：１）对于隶属函数为对称型的，将对称点值作为均值；２）均值等
于不考虑模糊变量模糊性时的值。
～
将功能函数涉及的模糊变量 Ｘ尽数转化为随机变量 Ｘ 后，可将式（１）所述的概率 － 模糊 － 区间混
合可靠性问题简化为概率－ 区间混合可靠性问题，表示为
ａｌｌ
Ｚ ＝ ｇ（Ｘ ，Ｙ） （６）
ａｌｌ
式中：Ｘ ＝ Ｘ ∪Ｘ ；Ｙ ＝ ｛ｙ，ｙ，…，ｙ｝为 ｔ维区间变量，其中
１
ｔ
２
Ｒ
Ｌ
ｙ ∈［ｙ，ｙ］，ｉ ＝ １，２，…，ｔ （７）
ｉ ｉ ｉ
Ｌ
Ｒ
式中 ｙ和 ｙ分别为第 ｉ个区间变量的下界和上界。
ｉ
ｉ
则由式（２）表达的失效概率可重新定义为
ａｌｌ
Ｐ＝ Ｐｒ｛ｇ（Ｘ ，Ｙ）＜０｝ （８）
ｆ
在全概率模型下，极限状态为 Ｘ空间中一唯一的曲面；但
在引入区间变量 Ｙ后，对于任何一个 ｙ ∈Ｙ，都存在相对应的极
ｉ
ａｌｌ
ａｌｌ
限状态面 ｇ（Ｘ ，ｙ） ＝０ ，此时极限状态ｇ（Ｘ ，Ｙ） ＝０变为由
ｉ
ａｌｌ
ａｌｌ
边界面 ｍａｘｇ（Ｘ ，Ｙ） ＝０和 ｍｉｎｇ（Ｘ ，Ｙ） ＝０构 成 的 带 状
Ｙ Ｙ
体，如图 １所示。
因而失效概率也存在上下界，可表示为
ｍｉｎ
ａｌｌ
Ｐ ＝ Ｐｒ｛ｍａｘｇ（Ｘ ，Ｙ）＜０｝ （９）
ｆ
Ｙ
ａｌｌ
ｍａｘ
Ｐ ＝ Ｐｒ｛ｍｉｎｇ（Ｘ ，Ｙ）＜０｝ （１０）
ｆ
Ｙ
对于实际工程来说，其功能函数的最大失效概率才能真
实反应结构是否安全可靠 ［１８］ ，故在分析中应以最大失效概率
ｍａｘ
Ｐ 来代表现役重力坝的可靠性。
ｆ
图 １ 极限状态区域
采用一次二阶矩法求解式（ ８），可得优化问题
β ＝ ｍｉｎ ‖Ｕ ‖
{ Ｌ Ｕ （１１）
ｓ．ｔ．ｍｉｎＧ（Ｕ，Ｙ） ＝０
Ｙ
ａｌｌ
Ｌ
Ｌ
ｍａｘ
式中：β 为最小可靠指标，且 Ｐ ＝ Φ（ － β）；Ｕ为 Ｘ 映射到标准正态空间下的随机向量；Ｇ（Ｕ，Ｙ）
ｆ
ａｌｌ
为 ｇ（Ｘ ，Ｙ）映射到标准正态空间下的功能函数。
显然，式（１１）中包含两层优化问题，即外层优化
Ｌ
{ β ＝ ｍｉｎ ‖Ｕ ‖ （１２）
Ｕ
ｓ．ｔ．Ｇ（Ｕ，Ｙ ） ＝０
与内层优化
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７
