Page 123 - 2024年第55卷第1期

１ － ｖ?ｃ １ － ｖ?ｃ
Ｒ Ｒ
［ｋ （ｖ） ｋ（ｖ）］ ≈ （１１）
Ⅰ
Ⅱ
１ － ｖ?ｃ
槡 ｄ 槡 １ － ｖ?ｃ
ｓ
式中 ｃ、ｃ和 ｃ分别为压缩波、剪切波和瑞利波的波速。
Ｒ
ｄ
ｓ
３．２ 多边形裂缝单元广义动态应力强度因子求解 在 ＳＢＦＥＭ 中，Ｓｏｎｇ
等 ［１９］ 提出了广义应力强度因子以描述裂缝尖端应力奇异性，对均质材
料断裂、界面断裂和 Ｖ型缺口等断裂类型均适用。本文将其推广至结构
的动态断裂分析，建立 多边 形裂缝 单元 的 广义动 态应力 强 度 因子 求解
方法。
如图 ２所示，由 ＳＢＦＥＭ 模拟的多边形裂缝单元任意一点的比例边
界坐标可转化为局部极坐标系表示，动力分析中任意时刻 ｔ多边形裂缝
ｅｑ
ｅｑ
单元Ⅰ型和Ⅱ型瞬态应力强度因子 Ｋ （ｔ）和 Ｋ （ｔ）可以表示为：
Ⅰ Ⅱ
ｅｑ
Ｋ （ｔ） ＝ｌｉｍ ２ π ｒ σ ｙｙ （ｒ，θ ＝ ０ ，ｔ） } （１２） 图 ２ 由 ＳＢＦＥＭ模拟的
ｒ → ０ {
ｅｑ { }
Ⅰ
Ｋ （ｔ） 槡 σ ｘｙ （ｒ，θ ＝ ０，ｔ） 多边形裂缝单元示意
Ⅱ
引入裂缝特征长度 Ｌ，根据关系式 ξ ＝ ｒ?Ｌ推导瞬态广义应力强度因子为：
ｅｑ
Ｋ （ｔ）
ｅｑ { } ＝ ２ π Ｌ［ Ψ Ｌ （ θ ）］｛ｃ （ｔ）｝ （１３）
Ⅰ
（ｓ）
（ｓ）
槡
Ｋ （ｔ）
Ⅱ
（ｓ） ［１９］
式中：上标 “ ｓ” 表示奇异项；［ Ψ Ｌ （ θ ）］为多边形裂缝单元的奇异应力模态 。
（ｓ）
需要说明的是，多边形裂缝单元奇异应力模态［ Ψ Ｌ （ θ ）］仅与单元形状相关，求解时取相应线单
元高斯积分点的数值或对相邻线单元高斯积分点插值得到。
目前广泛采用的最大环向应力准则 ［２５］ 认为，裂缝扩展方向沿着垂直于裂尖最大环向应力的方向。
ｅｑ
ｅｑ
动态断裂分析时沿用 该准 则，由式 （ １３）计算 裂缝的瞬 态应 力强 度 因 子 Ｋ （ｔ）和 Ｋ （ｔ），之 后根据
Ⅱ
Ⅰ
ｄｙｎａ
ｄｙｎａ
式（ １０）考虑裂缝扩展速度的影响得到动态应力强度因子 Ｋ （ｔ）和 Ｋ （ｔ）。将其代入下式求得 ｔ时刻
Ⅰ Ⅱ
：
的裂缝扩展角 θ ｃ
ｄｙｎａ
ｄｙｎａ
－ ２Ｋ （ｔ）?Ｋ （ｔ）
－ １ Ⅱ Ⅰ
＝ ２ｔａｎ （１４）
θ ｃ
ｄｙｎａ
ｄｙｎａ
１ ＋ １ ＋ ８（Ｋ （ｔ）?Ｋ （ｔ）） ２
槡 Ⅱ Ⅰ
代入下式，计算 ｔ时刻对应裂缝扩展角的等效应力强度因子 Ｋ（ｔ）：
将裂缝扩展角 θ ｃ
( ｄｙｎａ ２ θ ３ ｄｙｎａ ) θ
Ｋ（ｔ） ＝ Ｋ （ｔ）ｃｏｓ ２ ２ Ⅱ ２ （１５）
－ Ｋ （ｔ）ｓｉｎ θ ｃｏｓ
Ⅰ
当等效应力强度因子达到材料的断裂韧度，认为裂缝处于临界状态，即将扩展。在混凝土大坝断
裂分析中裂缝扩展长度取为固定值 Δ ａ，每次扩展调用局部网格重剖分方法以形成新的裂缝边界，当裂
尖触及模型边界或者动力分析完成均会触发断裂分析结束。
４ 裂缝动态扩展模拟过程
４．１ 多边形单元生成 将结构自由剖分为三角形背景网格，进而转化为多边形单元。如图 ３（ａ）所示，
对重力坝模型自由剖分得到三角形背景网格。如图 ３（ｂ）所示，在模型内部，以三角形网格顶点为相
似中心，将周围所有三角形的形心逆时针依次相连形成多边形；对于模型边界上的三角形顶点，将周
围的三角形形心及边界线中点相连构造多边形，新生成多边形的形心作为相似中心；在裂尖点生成的
多边形裂缝单元，取裂尖点坐标作为裂缝单元相似中心。最终形成含预设裂缝的重力坝多边形比例边
界有限元模型如图 ３（ｃ）所示。
４．２ 裂缝扩展局部网格重剖分 裂缝扩展局部网格重剖分方法是对裂尖点附近局部网格区域进行重剖
分，每一步扩展过程所需前处理工作量很小，只需更新重剖分区域内的节点及其位移、速度和加速
８
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