Page 69 - 水利学报2021年第52卷第4期

式中： y ′( ) x = dy/dx 。接触点 P 和 P 的坐标可分别表示为：
1 2
x = -d - R (1 - cosβ )；y = R sinβ ；x = d + R (1 - cosβ )；y = R sinβ （3）
c1 1 1 1 c1 1 1 c2 2 2 2 c2 2 2
当两个颗粒-液桥接触半径（ y 和 y ）较小时 （ y /R ≪ 1 且 y /R ≪ 1），式（3）可近似为：
c1 c2 c1 1 c2 2
x ≈ -d - y /(2R )；y ≈ β R ；x ≈ d + y /(2R )；y ≈ β R （4）
2
2
c1 1 c1 1 c1 1 1 c2 2 c2 2 c2 2 2
x
x
此外，依据文献［28］， y ( ) x 在两个接触点处的斜率（ y ′( ) 和 y ′( )）与 θ 有关（图 2）：
c1 c2
ì y ′( ) = -cot (θ + β = - æ R - y - ξy ö æ ξ R - y + y ö = y ′
)
x
2
2
2
2
ï ï c1 1 è 1 c1 c1 ø è 1 c1 c1 ø c1
í （5）
ï y x
ï ′( ) = cot (θ + β ) = æ R - y 2 - ξy ö æ ξ R - y 2 + y ö = y ′
2
2
î c2 2 è 2 c2 c2 ø è 2 c2 c2 ø c2
式中： ξ = tanθ 。需注意：本文仅讨论凹形钟摆状液桥，因此 β 和 β 与 θ 需满足 β + θ ≤90°和
1 2 1
β + θ ≤90°。
2
2.2 Young-Laplace 方程与液桥的受力状态 依据文献［10，16-20］，液桥表面形状可用 Young-La⁃
place 方程描述，依据该方程可认为液桥表面平均曲率为常数。本文以轴对称液桥为研究对象，则表
征其表面形状的 Young-Laplace 方程为：
é
é
y
y
K [ ] y ( ) x = y ″ 1 + ( ) ′ 2 ù 3 2 - 1 y 1 + ( ) ′ 2 ù 1 2 = C ；C = ψ/σ （6）
ë û ë û m m w
式中： K [ ] y 为平均曲率算子； y ′ = dy/dx ； y ″ = d y dx ； C 为平均曲率，m ； ψ 表示基质吸
2
-1
2
m
力，kPa，即横贯于气-液交界面内外的压力差； σ 为水分的表面张力（20 ℃时纯水的 σ =0.0728 N/m）。
w
w
该非线性二阶常微分方程的边界条件如式（2）、式（3）和式（5）所示。
对式（6）所示 Young-Laplace 方程求积分可得 ［12］ ：
y
Λ[ ] y ( ) x = y é 1 + ( ) ′ 2 ù 1 2 + C y /2 = λ （7）
2
ë û m
式中： λ 为毛细长度系数，mm。 Λ[ ] y 为对 K [ ] y 的第一次积分结果。式（7）描述了液桥沿其长度方
向的受力平衡条件 ［11-12］ 。将式（2）和式（5）代入式（7），则 C 和 λ 可表示为：
m
æ 2 ö æ 2 ö
)
C m 2 = ç y - y 1 + ( y ′ ÷ ) ( y - y 2 ) = ç y - y 1 + ( y ′ ÷ ) ( y - y ；λ = y + C y 2 2 （8）
2
2
2
m
è 0 c1 c1 ø c1 0 è 0 c2 c2 ø c2 0 0 0
关于液桥的受力状态，选取液桥的最窄“颈部”截面进行分析，亦如图 2 所示，相应的毛细力 F
（mN）由作用在该截面周的表面张力 σ 和截面内的基质吸力 ψ 共同产生：
w
F = 2πy σ + πy ψ （9）
2
0 w 0
将式（6）所示 ψ 与 σ 的关系式和式（8）所示 λ 的公式代入式（9），即可进一步将 F 表示为：
w
)
F = 2πσ ( y + C y /2 = λ(2πσ w ) （10）
2
m
w
0
0
由式（8）可知， y 与 y 和 y 之间存在联系。将式（5）代入式（8）可得这三者之间的关系式：
0
c1
c2
{ é ë (R - R y + ξR y c2 R - y c2 2 + R y 0 ù 2 û 1 + ξ - y R R (1 + ξ 2 } ) y +
)
2
2
2
2
2
c1
0
1
2
c2
2
1
2
1
ξR y ( R - y 2 ) (1 + ξ 2 )( R - y 2 ) + R R y y (1 + ξ 2 ) - （11）
2
2
2
2 c1 2 c2 1 c1 1 2 0 c2
æ ξR y y 2 R - y 2 + R y y 2 ö 2
2
2
è 1 c2 0 2 c2 1 c2 0 ø 1 + ξ = 0
2
将式（11）中 R - y 2 项置于等式右边，进而对等式两边开平方，即可得到给定 y 、 y 、R 、R 和
2 c2 0 c2 1 2
ξ 时，关于 y 的二次方程：
2
c1
4 2
δ y + δ y + δ = 0 （12）
4 c1 2 c1 0
式中：系数 δ 、 δ 和 δ 可用 y 、 y 、 R 、 R 和 ξ 表示为：
4 2 0 0 c2 1 2
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