Page 73 - 水利学报2021年第52卷第4期

力沿轴向不变），故 Young-Laplace 方程与式（7）是等效的。当控制液桥最窄“颈部”半径 y 和小颗粒-
0
液 桥 接 触 半 径 y 时 ， 欲 通 过 式（12）确 定 大 颗 粒 -液 桥 接 触 半 径 y （若 y 的 解 存 在）， 则 需 满 足
c2 c1 c1
x
x
x
x
Λ[ ] y ( ) = Λ[ ] y ( ) ，由此可实现 Λ[ ] y ( ) = Λ[ ] y ( ) 0 = Λ[ ] y ( ) ，进而依据 Λ[ ] y ( ) x 在不同 x 处相同
c1 c2 c1 c2
的原则补充几何条件。为此，针对描述液桥表面形状的两段椭圆弧，依据 Λ[ ] y ( ) x 在液桥最窄“颈部”
与颗粒-液桥接触点之间中点处相同可补充两个几何条件：
Λ[ ] y (x /2 = Λ[ ] y ( ) 0 = Λ[ ] y ( ) (i = 1、2 ) （24）
)
x
ci
ci
式 中 ： i=2 时 的 几 何 条 件 因 在 式（12）的 推 导 过 程 中 已 考 虑 而 得 以 满 足 。 由 式（24）可 知
)
)
Λ[ ] y (x /2 = Λ[ ] y (x /2 ，则 x= x 、 x 2 、0、 x 2 和 x 处的毛细力均沿轴向相等，因此式（24）
c1 c2 c1 c1 c2 c2
所示两个补充几何条件因 Λ[ ] y ( ) x 为常数而考虑了 Young-Laplace 方程的性质。需注意：这两个几何
协调条件仅考虑对液桥表面形状函数的一阶导数 y ′( ) x ，不同于文献［12］中考虑对液桥表面形状函数
的二阶导数 y ″( ) x 。
将式（22）所示参数 n 、 a 和 b 代入式（19），同时联立式（24）推得无量纲变量 χ 与 η 之间的封
i
i
i
i
i
闭关系式：
g ( χ ，η i ) = 0 (i = 1、2 ) （25）
i
式中： g ( χ ，η i ) 具体表示为：
i
{
ö
æ
)
)
)
2
g ( χ，η = 4 η 1 + ξ - ξ ( ξη + χ - ξ ) 4ξ (η - 1 + 6χξ(η - 1 + 3χ +
2
2
2
2
è
ø
)[
)
)
)
é
2
η (η - 1 8( ξ - 1 ξ + 2χξ(3η + 1 + 3χ 2 ] 1 + ξ + 8(1 + η )(η - 1 ξ +
2
2
2
2
ë
)
)
)
2
2
2
2
2χξ(η - 1 )(5η + 7 + χ (η + } ] ) 7 ξ 1 + (η - 1 ) { 4ξ (η - 1 + 6χξ(η - 1 + 3χ 2 } - （26）
é
)
)
)
)
)
2
2[2ξ(η - 1 + χ ](η + 1 ê(η - 1 ) ( 4ξ (η - 1 + 4χξ(η - 1 + 3χ 2 ) + ξ(η - 1 + ù ú χ 1 + ξ 2
2
2
ë û
)
由于封闭关系式的函数对应法则对大、小颗粒均为 g，即 g ( χ ，η = 0 、 g ( χ ，η ) = 0 。为符
1 1 2 2
)
号表述简便，故下文统一采用 g ( χ，η = 0 的形式。
)
)
当 χ ≥ 0 、 0 ≤ η ≤ 1 且 0 ≤ ξ ≤ 3（ θ ≤60°） 时， g ( χ = 0，η ≤0 且 ∂g ( χ，η /∂χ ≥0。因
此，若给定 η 值，则式（26）所示 χ 的方程有唯一非负解，这个具有物理意义的唯一解可表示为
η
χ = f ( ) 的函数形式。在固-液接触角 θ 分别取 0°和 20°、颗粒半径比 R R 分别取 4/3 和 16、无量纲
1 2
*
液桥体积分别取 V LB ≤1×10 和 V LB ≤1×10 条件下，整理 χ 与 η 关系的 Young-Laplace 方程数值解与
∗
-6
-3
η
式（25）所得 χ = f ( ) 函数及圆弧假定（式（23））的预测曲线，如图 5 所示：当 η = η 时，封闭关系
∗
χ
χ = f ( ) 存在峰值 χ ，可将 (η ，χ ∗ ) 称为界限点；当 χ 值一定时， η = f ( ) 存在两段，亦如文献
η
∗
∗
-1
*
［12，15］所述，当 η ≥ η 时，表面积较小的液桥才具有物理意义。由图 5（a）（c）可知：当 V LB ≤1×
∗
10 时 ， 大 、 小 颗 粒 对 应 的 Young-Laplace 方 程 数 值 解 可 压 缩 为 一 条 数 据 线 ， 其 与 式（25）所 得
-6
∗
*
χ = f ( ) 函数的预测曲线较为吻合；大、小颗粒对应的界限点 (η ，χ * ) 完全相同。由图 5（b）（d）可
η
知，当 V LB * ≤1×10 时，Young-Laplace 方程数值解呈一定范围的数据带（并非一条数据线），大颗粒较
-3
η
小颗粒数据带更窄；式（25）所得 χ = f ( ) 函数的预测曲线较数值解偏小，Kruyt 等 ［12］ 对等径湿颗粒间
液桥亦得到了类似的计算结果。不仅如此，由图 5 亦可知，当 θ ≤20°且 V LB ≤1×10 时，式（25）所得
∗
-3
η
χ = f ( ) 函数较式（23）所示圆弧假定的预测曲线对不同 R R 值的 Young-Laplace 方程数值解更吻合。
1 2
χ
当计算小体积液桥（V LB ∗ ≤1×10 ）的毛细力时，需要在 η ≥ η 的稳定段内对 η = f ( ) 的封闭关
∗
-1
-3
χ
-1
系进行近似简化。这里将 η = f ( ) 的封闭关系式近似为：
∗ ∗
η = f ( )≈ ω ( ) = L ( ) - η + η ∗ ∗ （27）
χ
χ
χ
-1
— 449 —