Page 76 - 水利学报2021年第52卷第4期

需注意：如式（42）所示， y 和 y 仅通过 R 反映了大、小颗粒半径（ R 和 R ）的影响。
c1 c2 e 1 2
3.4 小体积液桥断裂距离的解析公式 已有试验 ［10，16］ 表明：湿颗粒间的液桥会随颗粒间距增大而逐
渐拉伸直至断裂，而液桥断裂距离 2d 与其体积 V LB 和固-液接触角 θ 有关，并与 Young-Laplace 方程
r
出现唯一数值解时的数据点对应 ［9-10，12］ 。依据文献［12］， 2d 随其 V LB 和 θ 的变化关系亦可采用椭圆
r
弧假定预测。
η
由图 5 中式（25）所示封闭关系 χ = f ( ) 可知， χ 在 0≤ η ≤1 范围内存在峰值，该峰值点（或界
*
限点）的坐标用 (η ，χ * ) 表示，相应的 j ( ) 值和 h( ) 值（函数公式如式（33）所示）分别用 j 和 h 表
η
η
∗
∗
示。由于不等径湿颗粒间液桥即将断裂时其体积很小， y ≪ R ，则式（37）中 y 的四次方项可忽
c2 e c2
略，由此可将式（37）所示 V LB 的公式进一步简化为：
)
V LB ≈(π/3 )( χ j - ξh y c2 3 （44）
∗ ∗
)
此外，当 (η，χ 位于界限点 (η ，χ ∗ ) 时， y 较小且 d = d ，联立式（4）（21）（38）可得 χ 关于 d 和
∗
∗
c
r
r
y 的近似公式：
c2
χ ≈d r y c2 （45）
∗
由此，联立式（44）和式（45）可得到 2d 的解析公式：
r
{
2d ≈ 2αV LB 1 3 ；α = 3χ ∗ ∗ [ ( χ j - ξh ∗ ∗ } ] ) 1 3 （46）
π
∗ ∗
r
∗ ∗
式中：不同 θ 值对应的 χ 和 η 值（由式（25）确定）、 j 和 h 值（由式（33）确定）如表 1 所示。此外，
∗
∗
∗
对比文献［9］和式（46）中系数 α 在 0≤ θ ≤20°范围内的取值，如图 6 所示，式（46）计算的 α 值与文献
［9］差异较小，不超过 7%。
3.5 小体积液桥毛细力的解析公式 针对不等径湿颗粒间形成的小体积液桥，采用椭圆弧假定，推
导液桥毛细力关于其体积和颗粒间距的解析公式（无需引入任何标定的拟合参数）。由式（10）可知，
计算毛细力 F 的关键在于求解毛细长度系数 λ ， λ 可通过液桥最窄“颈部”半径 y 、颗粒-液桥接触半
0
径（如 y ）及其接触点斜率（如 y ′ ）计算得到。若控制液桥体积 V 、颗粒间距 2d 和固-液接触角
c2 c2 LB
θ ，当V LB 较小时，颗粒-液桥接触半径（ y ≈ y ）可由式（42）确定；小颗粒至 x = 0 处的间距 d （图 2）
c2
2
c1
由式（38）确定，再通过式（4）和式（21）确定 χ ，进而将 χ 、 χ 和 η 值（依据表 1 查取的）代入式
∗
∗
2 2
（27）以确定 η ；将 η 代入式（21）即可确定 y ，继而由式（5）确定 y ′ ；将 y 、 y 和 y ′ 代入式
2 2 0 c2 0 c2 c2
（8），并在 y 处进行泰勒展开，从而得到 λ 的解析公式：
c2
æ
λ ≈ y η 1 - ξη 1 + ξ 2 ö (1 - η 2 ) （47）
c2 2 è 2 ø 2
最后，将式（47）代入式（10）确定 F ；若采用颗粒等效半径 R 对 F 无量纲化，结合式（47）亦可确定无
e
*
量纲毛细力 F （ F = λ/R ）。
e
整理不同颗粒半径比（ R R =2 和 128）的湿颗粒间液桥取不同无量纲体积（体积较小， V ∗ =1×
1 2 LB
10 和 1×10 ）和颗粒间距之比 d ∗ ∗ ∗ * r ∗
d （ d 和d 分别为无量纲的颗粒半间距和液桥断裂半倍距离）时无
-6
-3
r
*
量纲毛细力 F 的 Young-Laplace 方程数值解及式（47）的预测值，如图 7 所示（ R R =128 可近似视为
1 2
*
球体与片状湿颗粒之间形成的液桥），式（47）对 Young-Laplace 方程数值解的预测较为吻合：当 d ＜
*
0.6d 时， V LB =1×10 和 1×10 时的预测误差分别小于 5%和 6%；当 d ≥ 0.6d 时，预测误差虽有所
∗
∗
∗
-6
-3
r
r
*
增大，但此时 F 已很小。原因可能在于：当颗粒间距较大时，大、小颗粒与液桥的接触半径差异显
*
著，因此依据 y ≈ y 条件所计算的 F 值较 Young-Laplace 方程数值解势必会产生误差。此外，当
c1 c2
*
d ≥ 0.6d 时，极小体积液桥（V LB =1×10 ）对应的 Young-Laplace 方程数值解及式（47）的预测值会出
∗
∗
-6
r
［9］
现波动（4.2 节的图 12（a）亦有此现象）。原因可能在于：液桥表面的自由能对其稳定性影响显著 ，当
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