Page 78 - 水利学报2021年第52卷第4期

可计算出 F。
如 3.3 节依据椭圆弧假定的分析所述， y ≈ y ，进而据式（37）所示液桥体积公式可知， y 和
c1 c2 c1
y 通过式（1）所示 R 仅与 R 、 R 有关。由此可见，当液桥体积较小时，针对等径湿颗粒推得的液
c2 e 1 2
桥断裂距离与其毛细力的解析公式可通过 R 推广至不等径湿颗粒的情况。这种思路虽已通过对
e
Young-Laplace 方程数值解的分析得以应用 ［10-11，30］ ，但鲜从解析角度得到论证，为此，本节在椭圆弧
假定的小体积液桥适用范围内从解析角度验证了这种思路的准确性，而在大体积液桥断裂距离与其
毛细力公式中采用 R 的适用性将在下节阐述。
e

4 基于拟合公式计算大体积液桥的断裂距离及其毛细力

不等径湿颗粒间大体积液桥的断裂距离与其毛细力研究报道较少 ［10-11］ ，Willett 等 ［10］ 选取有限的
Young-Laplace 方程数值解数据组构建了液桥断裂距离及其毛细力的拟合公式，Lian 等 ［11］ 基于任意颗
粒间距时的毛细力与颗粒相互接触（颗粒间距为零）时的初始毛细力之比构建了液桥毛细力拟合公
式。然而，由于相互接触的湿颗粒间无法形成较大体积的凹形钟摆状液桥，因此他们 ［10-11］ 提出的公式
仅适用于小体积液桥，对大体积液桥适用性有限。为此，本节以大体积液桥为研究对象，旨在分析
颗粒半径比和固-液接触角对其断裂距离与毛细力的影响。为对比文献［10-11］的研究，本节采用较
文献［10］规模更大的 Young-Laplace 方程数值解数据组，选取较文献［11］范围更广的液桥体积和颗粒
半径比。
当液桥体积和颗粒间距较大时，椭圆弧假定不适于描述其表面形状。为此，基于 2.3 节所述
Young-Laplace 方程数值解的数据组，采用颗粒半径比而非颗粒等效半径来描述颗粒半径的影响，一
方面构建液桥断裂距离的拟合公式，另一方面将 Lian 等 ［11］ 提出的毛细力公式进行改进，使之适用于
大体积液桥。
4.1 液桥断裂距离的拟合公式：从小体积液桥到大体积液桥 Willett 等 ［10］ 从试验与数值解角度分析

了颗粒半径比对液桥断裂距离的影响，依据试验结果阐述了颗粒半径比对大体积液桥断裂距离的影
响，进而对有限的 Young-Laplace 方程数值解数据组进行曲线拟合，得到了无量纲液桥断裂距离 2d r ∗

的拟合公式：
r { é ù 1 3 é ù 2 3 }
)
2d = 1 + (θ 4 1 + 1 ( R R 2 û } ) {( ) + 0.5 ( R R 2 ) - 0.4 ( ) （48）
V
V
∗
∗
∗
û
LB
ë
ë
LB
1
1
式中：固-液接触角 θ 用弧度表示； V LB 为无量纲液桥体积，其与 2d 的无量纲定义方式如 2.3 节所
∗
∗
r
述 。 对 比 分 析 不 同 颗 粒 半 径 比（1≤ R R ≤128）的 湿 颗 粒 间 不 同 体 积（0≤ V * ≤0.22）液 桥 在 θ =
1 2 LB
∗
20°、40°时 2d 的 Young-Laplace 方程数值解及式（48）的预测值，如图 9（a）（c）所示，式（48）对 θ =
r
20°、40°时数值解的预测误差较大（分别为 4.5%和 10%）。因此，有必要在式（48）基础上通过引入
( ) 1 3 、 1 ( R R 2 ) 和 θ 的高阶项以构建适用液桥体积更广范围的无量纲液桥断裂距离拟合公式。通
V
∗
LB
1
过对 2d 的 Young-Laplace 方程数值解进行曲线拟合可得到 2d 关于 V LB 、 θ 和 R R 的拟合公式：
∗
∗
∗
r
r
1
2
3(
1(
2d = O θ， R R 2 )( ) 1 3 + O ( θ， R R 2 )( ) 2 3 + O θ， R R V ∗ （49）
V
V
∗
∗
∗
) LB
LB
LB
r
1
2
1
1
2
3(
1(
-1
式中：函数 O θ， R R 2 ) ， O ( θ， R R 2 ) ， O θ， R R 2 ) 可表示为关于 θ 和 ( R R 2 ) 的二次多项式：
1
1
1
1
2
)
ì O = 1.01 + 0.35θ + ( 0.38θ - 0.52θ 2 ) + ( 0.93θ - 0.54θ (R /R ) 2
2
ï ï 1 ) (R /R 2 1 2
1
ï ï 2
)
í O = 0.47θ - 0.74θ - 0.52 + (1.11 + 0.3θ - 0.9θ 2 ) (R /R ) + (0.96θ - 0.6 (R /R ) （50）
2
ï ï 2 1 2 1 2
)
ï ï O = 0.14 + 1.16θ - 1.16θ + (1.78θ - 1.66θ - 0.47 (R /R ) + 0.53/(R /R ) 2
2
2
î 3 1 2 1 2
对比分析式（49）对不同颗粒半径比（1≤ R R ≤128）的湿颗粒间不同体积（0≤ V * ≤0.22）液桥
1 2 LB
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