Page 75 - 水利学报2021年第52卷第4期

η
η
式中函数 j ( ) 和 h( ) 可表示为：
η
η
2
3
2
j ( ) = 4η + (3π - 8 )η + 10 - 3π；h( ) = (8 - 3π )η + (12π - 36 )η + (48 - 15π )η + 6π - 20 （33）
)
χ
η
η
在 η ≥ η 的 η = f ( ) 稳定段内， j ( ) 和 h( ) 可在 ( χ = 0，η = 1 处得到泰勒展开式：
-1
∗
)
)
ö
)
j ( ) = j ( f ( ) ≈ 6 - 3πχ æ è 1 + ξ - ξ ；h( ) = h( f ( ) ≈(3π - 12 χ 2 æ è 1 + ξ - ξ ö ø 2 （34）
η
χ
χ
η
-1
2
-1
2
ø
当给定 V LB 和 2d 时，式（32）中的 y 和 y 未知，对其求解则需增加 y 与 y 的约束条件，可引
c2
c1
c2
c1
入表征颗粒-液桥接触点处毛细力相同的式（11）表示。当 y ≪ R 且 y ≪ R 时， V 较小（V ∗ ≤1×
c1 1 c2 2 LB LB
10 ），又 R - y ≈ R ，故可在 y 和 y 确定时，将式（11）简化为关于 y 的二次方程：
2
2
-3
1 c1 1 c2 0 c1
)
{[(R - R y + R R ξy + R y 0 2 ] 1 + ξ - R R y (1 + ξ 2 } ) y + R R ξ 1 + ξ ( y - y c2 2 ) y -
2
2
2
2
2
0
1
2
c2
c1
c1
c2
1
2
2
1
2
1
2
0
（35）
( R R ξy y + R y y c2 2 ) 1 + ξ + R R (1 + ξ 2 ) y y y = 0
2
2
2
2
2
1
2
0
1
0
2
1
c2
0
c2
0
当液桥体积很小时，式（11）和式（35）的解基本相同。将 y = η y （由式（21）可得）代入式（35），
0 2 c2
并在小变量 y 处得到泰勒展开式：
c2
)
η
y ≈ y + k ( ) y (R - R ) R R ；k ( ) = (1 + η )(1 - η )(η ξ + 2η + ξ ( 4η 2 ) （36）
η
2
2
c1 c2 2 c2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2
η
当 0≤ θ ≤45°且 0.4≤ η ≤1.0 时，函数 k ( ) 在 0 ~ 2 范围内变化。由于 y ≪ R ≤ R ，式（36）
2 2 c2 2 1
η
中 的 k ( ) y (R - R ) R R 项 可 忽 略 不 计 ， 故 此 时 大 、 小 颗 粒 与 液 桥 的 接 触 半 径 近 似 相 等 ， 即
2
2 c2 1 2 1 2
y ≈ y ，这与图 4 所示小体积液桥（V ∗ ≤1×10 ）与大、小颗粒的接触特征一致。由该近似条件可
-3
c1 c2 LB
η
η
知， η ≈ η （依据式（21）），进而依据式（25）所示封闭关系可知 χ = f ( )≈ f ( ) = χ 。因此，可将
1 2 1 1 2 2
式（32）进一步整理为 V LB 关于 y 的公式：
c2
]
)
η
V LB ≈(π/3 )[ χ j ( ) - ξh( ) y - (π/2 y c2 4 R e （37）
η
3
2
2
2
c2
式中： R 为颗粒等效半径，同式（1）。由 y ≈ y 和 η ≈ η 可知 x ≈ -x （依据式（21））。将该近似
e
c1
1
2
c2
c1
c2
条件代入式（4）和式（18），即可得到小颗粒至 x = 0 处的间距 d （图 2）公式：
2
d ≈ d - ( y 4 ) 4 ( 1 R - 1 R ) （38）
2 c2 2 1
将式（34）代入式（37），并联立式（4）、式（21）、式（30）和式（38），把式（37）进一步整理为 V LB 和
2d 一定时关于 y 的五次方程：
c2
ξ y + R y + 4dR ξ y + 4dR y + 4d R ξ y - 2R V LB π = 0 （39）
5
3
2
2
2
2
2
4
e
s
e
s
e
e
s
e
c2
c2
c2
c2
c2
式中： ξ 为关于 ξ 的公式缩略代换变量：
s
2
ê 1 + ξ - ξ (π - 4
ξ = -(1/2 ) æ è 1 + ξ - ξ öé æ 2 ö ø )ξ + ù ú π û （40）
øë è
s
当 0≤ θ ≤60°且 y ≪ R 时， -π/2 ≤ ξ ≤ -3/10 ，则式（39）中 y 的五次方项较其四次方项可忽
s
e
c2
c2
略，而 y 的三次方项较其平方项可忽略，由此可将式（39）简化为四次方程：
c2
y + 4dR y + 4d R ξ y - 2R V π = 0 （41）
2
2
4
c2 e c2 e s c2 e LB
依据文献［12］，式（41）关于 y 的解可在颗粒间距较小和较大两个范围内分别求取。采用文献［12］所
c2
述联立方法，将式（41）的解表示为：
-1/4
ϑ
y ≈ y = 2R 1 4 d ( 2V ) π w ( )w ( ) （42）
3 2
μ
c1 c2 e LB 1 2
ϑ
μ
式中： μ（不同于文献［12］）、 ϑ 、 w ( ) 和 w ( ) 分别表示为：
1 2
ì μ = 2dR 1 2 1 2 ；ϑ = d ( 2V 1 3
ï e ( 2V LB ) π LB ) π
ï
í 1 2 （43）
æ
ö
ï μ é 2 ) 1 2 - 2μ ù ú ；w ( ) = ç ξ + 1 ϑ - ξ /2
ïw ( ) = ê(1 + 4μ
ϑ
3
2
÷
î 1 ë û 2 è s s ø
— 451 —