Page 71 - 水利学报2021年第52卷第4期

由于 Kruyt 等 ［12］ 采用的 Gauss-Kronrod 自适应数值积分算法可解决式（15）在 y 处积分出现的弱奇
0
点问题，故采用该算法（令计算中的相对误差限为 10 ）计算式（15）中的积分，即可得到 y ( ) x 。从
-6
大、小颗粒与液桥的接触面至液桥最窄“颈部”处（ x = 0）分别对应的液桥体积（V 和 V ）可通过对
LB1 LB2
y ( ) x 进行数值积分得到：
0 x
V = π y dx - V ；V = π c2 y dx - V （16）
2
2
LB1  x CA1 LB2  0 CA2
c1
式中： V 和 V 分别为大、小颗粒被液桥浸润的球冠体积，可表示为：
CA1 CA2
)
)
)
)
2
2
V = (π/3 R (1 - cosβ (2 + cosβ )；V = (π/3 R (1 - cosβ (2 + cosβ ) （17）
3
3
CA1 1 1 1 CA2 2 2 2
液桥体积 V （μL）及颗粒间距 2d（mm）可由大、小颗粒对应的液桥体积及颗粒间距（ d 和 d ）求和而
LB
1
2
得：
V LB = V LB1 + V LB2 ；2d = d + d 2 （18）
1
由 此 可 依 据 颗 粒 等 效 半 径 R 定 义 无 量 纲 液 桥 体 积 V LB （V LB = V LB /R ）和 无 量 纲 颗 粒 间 距 2d ∗
3
∗
∗
e
e
（ 2d = 2d/R ）。
∗
e
因此，可依据本节上述计算方法对 Young-Laplace 方程求得下列条件下的不同数值解：① 在充填
角 β 低于 60°的范围内取 500 个不同数值；②液桥最窄“颈部”半径及其与小颗粒接触半径之比 y y
0 c2
在 0～1 范围内取 500 个不同数值；③颗粒半径比 R R =1、4/3、2、4、8、16 和 128；④固-液接触
1 2
角 θ =0°、20°、40°。
将上述条件下的不同数值解构成数据组，要求在 y 0 y =0～1 的范围内仅考虑如图 2 所示的凹形
c2
钟摆状液桥，而且忽略颗粒间距 2d 为负值时的无物理意义数值解（2d 可通过 y 、 y 和 y 算得）。
0 c1 c2
由于该数据组存储了每个 β 和 y y 对应的 2d、 V 、 F 和 C ，因此，一方面可将 C 代入式（6）
0 c2 LB m m
算得相应的 ψ ，另一方面可依据 Kruyt 等 ［12］ 提出的数值线性内插方法算得 V LB 和 2d 任意取值组合对
应的 F，从而为验证、评价本文以下提出的液桥断裂距离及其毛细力的解析与拟合公式提供数据支
撑。
3 基于椭圆弧假定计算不等径湿颗粒间小体积液桥的断裂距离及其毛细力
所谓椭圆弧假定，即在二维平面内采用椭圆弧描述湿颗粒间液桥的表面形状，该假定已用于研
究等径湿颗粒间小体积液桥的断裂及毛细力变化特征 ［12］ 。本节将椭圆弧假定推广至不等径湿颗粒间
形成的液桥：先阐述如何采用椭圆方程描述不等径湿颗粒间液桥的表面形状，以讨论椭圆弧假定的
适用性；继而取液桥内毛细力为常数，构建相应的几何关系式，从而确定基于椭圆弧描述液桥表面
形状所需的几何参数；再推导颗粒-液桥接触半径、液桥断裂距离及其毛细力关于液桥体积和颗粒间
距的解析公式，通过对比分析解析公式对不同液桥断裂距离及其毛细力的 Young-Laplace 方程数值解
的预测效果，旨在验证采用颗粒等效半径将等径湿颗粒间小体积液桥的断裂距离及其毛细力解析公
式推广至不等径湿颗粒范围的适用性。
3.1 基于椭圆方程描述不等径湿颗粒间液桥的表面形状 椭圆弧假定可用于描述等径湿颗粒间液桥
的表面形状 ［12］ 。然而，对不等径湿颗粒间的液桥，当给定其体积与颗粒间距时，采用椭圆弧描述其
表面形状时边界条件较多（将在 3.2 节讨论），故不能仅用一段椭圆弧描述。为此，这里采用两段与
大、小颗粒相对应的椭圆弧来描述液桥的表面形状函数 y ( ) x ：
2
x /a + (n - y ) /b = 1 （19）
2
2
2
i
i
i
式中：i=1、2 分别表示大、小颗粒； a 和 b 分别为长、短半轴距；（0，n）为椭圆的中心。依据式
i
i
i
（2）和式（5）所示边界条件，可求得式（19）中的几何参数 n 、 a 和 b （i=1，2）：
i
i
i
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